Calcule a transformada inversa de Laplace:
$F(s)=\tan ^{-1}(1 / s);
$F(s)=\tan ^{-1}(1 / s);
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Ou seja: dado
, encontrar
tal que
Informações relevantes: a expressão explícita de
está dada; queremos
para
.
Passo 2
Vou usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que relaciona derivada em
com multiplicação por
. Vamos recordar e demonstrar essa propriedade passo a passo para você lembrar como aplicá-la na prova.
Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa de domínio da transformada e
é a variável do tempo/origem da função.
Propriedade (derivada em
): se
, então
Portanto
ou reescrevendo,
Explicando em palavras: derivar
em relação a
corresponde (com sinal menos) a multiplicar
por
antes de transformar.
Passo 3
Agora calculemos a derivada de
passo a passo. Primeiro, use a regra da cadeia: se
então
. Aqui
.
Calcule
:
Aplicando a regra da cadeia:
Colocando no mesmo denominador
para simplificar:
logo
Passo 4
Use a propriedade do Passo 2:
. Substituindo o
que encontramos:
Mas conhecemos uma transformada padrão: para
,
Tomando
obtemos
Portanto
Passo 5
Pela unicidade da transformada de Laplace (se duas funções possuem a mesma transformada em uma faixa de
, então elas coincidem quase em toda parte para
), concluímos que, para
,
Isolando
:
Observação didática: na prova você pode escrever que
e, se quiser, comentar que o valor em
não afeta a transformada; o limite
dá a continuidade no zero, mas a transformada está definida pela função para
.
Passo 6
Verificação (curta): é uma transformada conhecida que, para
,
Tomando
recuperamos exatamente
. Isso confirma que a inversa encontrada está correta.