Calcule a transformada inversa de Laplace:
$F(s)=\tan ^{-1}(1 / s);

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{s}\right).
Ou seja: dado F(s), encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações relevantes: a expressão explícita de F(s) está dada; queremos f(t) para t>0.

Passo 2

Vou usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que relaciona derivada em s com multiplicação por t. Vamos recordar e demonstrar essa propriedade passo a passo para você lembrar como aplicá-la na prova.
Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa de domínio da transformada e t é a variável do tempo/origem da função.
Propriedade (derivada em s): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big) f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t)\,dt.
Portanto
F'(s) = -\mathcal{L}\{t f(t)\}(s),
ou reescrevendo,
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -F'(s).
Explicando em palavras: derivar F(s) em relação a s corresponde (com sinal menos) a multiplicar f(t) por t antes de transformar.

Passo 3

Agora calculemos a derivada de F(s)=\arctan\!\big(\tfrac{1}{s}\big) passo a passo. Primeiro, use a regra da cadeia: se F(s)=\arctan(u(s)) então F'(s)=\dfrac{u'(s)}{1+u(s)^2}. Aqui u(s)=\tfrac{1}{s}.
Calcule u'(s):
u(s)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad u'(s)=-\frac{1}{s^{2}}.
Aplicando a regra da cadeia:
F'(s)=\frac{-\dfrac{1}{s^{2}}}{1+\left(\dfrac{1}{s}\right)^{2}} = -\frac{1/s^{2}}{1+1/s^{2}}.
Colocando no mesmo denominador s^{2} para simplificar:
1+\frac{1}{s^{2}}=\frac{s^{2}+1}{s^{2}},
logo
F'(s) = -\frac{1/s^{2}}{(s^{2}+1)/s^{2}} = -\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 4

Use a propriedade do Passo 2: \mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -F'(s). Substituindo o F'(s) que encontramos:
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\big(-\frac{1}{s^{2}+1}\big) = \frac{1}{s^{2}+1}.
Mas conhecemos uma transformada padrão: para a>0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Tomando a=1 obtemos
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}(s).

Passo 5

Pela unicidade da transformada de Laplace (se duas funções possuem a mesma transformada em uma faixa de s, então elas coincidem quase em toda parte para t>0), concluímos que, para t>0,
t f(t)=\sin t.
Isolando f(t):
f(t)=\frac{\sin t}{t},\qquad t>0.
Observação didática: na prova você pode escrever que f(t)=\dfrac{\sin t}{t} e, se quiser, comentar que o valor em t=0 não afeta a transformada; o limite \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1 dá a continuidade no zero, mas a transformada está definida pela função para t>0.

Passo 6

Verificação (curta): é uma transformada conhecida que, para a>0,
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t}\right\}(s)=\arctan\!\left(\frac{a}{s}\right).
Tomando a=1 recuperamos exatamente F(s)=\arctan\!\left(\tfrac{1}{s}\right). Isso confirma que a inversa encontrada está correta.

Resposta

\dfrac{\sin t}{t}

Exercícios relacionados