(a) [2.0 pontos] Ache a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que:
T(1,1,1)=(1,-1,0), \quad T(1,1,0)=(1,1,0), \quad T(1,0,0)=(0,1,0) .
(b) [1.0 ponto] Existe vetor v \in \mathbb{R}^{3} tal que T(v)=(1,1,1) ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e os valores de T sobre os vetores
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(1,0,0).
Queremos encontrar a matriz de T na base canônica e depois responder se existe v com T(v)=(1,1,1).

Passo 2

Primeiro, checamos que \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3. Considere a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =0-0-1=-1\neq0.
Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base.

Passo 3

Para achar a matriz de [T) na base canônica, escrevemos cada vetor canônico e_i como combinação de v_1,v_2,v_3 e usamos linearidade.
  1. e_1=(1,0,0)=v_3, logo
    T(e_1)=T(v_3)=(0,1,0).
  2. Procuramos a,b,c tais que
    a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3=(0,1,0).
    Isso dá o sistema
    \begin{cases} a+b+c=0,\\\ a+b=1,\\\ a=0, \end{cases}
    cuja solução é (a=0,;b=1,;c=-1]. Então
    T(e_2)=T(0\cdot v_1+1\cdot v_2-1\cdot v_3) =T(v_2)-T(v_3) =(1,1,0)-(0,1,0)=(1,0,0).
  3. Para e_3=(0,0,1)\) resolvemos \[a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3=(0,0,1),
    gerando
    \begin{cases} a+b+c=0,\\\ a+b=0,\\\ a=1, \end{cases}
    de onde (a=1,;b=-1,;c=0]. Assim
    T(e_3)=T(v_1)-T(v_2) =(1,-1,0)-(1,1,0)=(0,-2,0).

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3). Portanto
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em outras palavras, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =(y,\;x-2z,\;0).

Passo 5

Para ver se existe v tal que T(v)=(1,1,1), basta olhar a terceira componente de T(x,y,z), que é sempre 0. Isso nunca pode ser 1. Em termos de sistema
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
impõe 0=1 na terceira linha, uma contradição. Logo não existe tal v.

Resposta

(a) A matriz de T na base canônica é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
ou seja T(x,y,z)=(y,x-2z,0).
(b) Não existe v\in\mathbb{R}^3 com T(v)=(1,1,1).

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