(a) [2.0 pontos] Ache a transformação linear
tal que:
(b) [1.0 ponto] Existe vetor
tal que
?
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
e os valores de
sobre os vetores
Queremos encontrar a matriz de
na base canônica e depois responder se existe
com
.
Passo 2
Primeiro, checamos que
é base de
. Considere a matriz cujas colunas são
:
O determinante é
Como
, os vetores são linearmente independentes e formam base.
Passo 3
Para achar a matriz de [T) na base canônica, escrevemos cada vetor canônico
como combinação de
e usamos linearidade.
-
, logo -
Procuramos
tais queIsso dá o sistemacuja solução é (a=0,;b=1,;c=-1]. Então
-
Paragerandode onde (a=1,;b=-1,;c=0]. Assim
Passo 4
A matriz de
na base canônica tem colunas
. Portanto
Em outras palavras, para
vale
Passo 5
Para ver se existe
tal que
, basta olhar a terceira componente de
, que é sempre
. Isso nunca pode ser
. Em termos de sistema
impõe
na terceira linha, uma contradição. Logo não existe tal
.
Resposta
(a) A matriz de
na base canônica é
ou seja
.
(b) Não existe
com
.