[3] Considere a transformação linear
dada por:
(a) [1.5 pontos] Determine uma base do núcleo da transformação.
(b) [1.0 ponto] Obtenha a dimensão da imagem da transformação.
(c) [0.5 ponto] Podemos afirmar que
é sobrejetora?
(b) [1.0 ponto] Obtenha a dimensão da imagem da transformação.
(c) [0.5 ponto] Podemos afirmar que
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede:
– (a) uma base do núcleo de ,
– (b) a dimensão da imagem de ,
– (c) verificar se é sobrejetora.
Vamos usar teoria de transformações lineares, núcleo, imagem e o Teorema do Núcleo–Imagem.
– (a) uma base do núcleo de
– (b) a dimensão da imagem de
– (c) verificar se
Vamos usar teoria de transformações lineares, núcleo, imagem e o Teorema do Núcleo–Imagem.
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação
e da segunda
. Logo todo vetor do núcleo tem a forma
Assim
e uma base de
é
.
Passo 3
Para a dimensão da imagem podemos usar dois caminhos equivalentes:
-
Computar explicitamenteOs vetores
e são linearmente independentes e geram todos os três, logo . -
Aplicar o Teorema do Núcleo–Imagem (rank–nullity):Como
, segue .
Passo 4
O espaço-alvo é
, que tem dimensão 2, e acabamos de ver que
. Portanto
e
é sobrejetora.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim
(b)
(c) Sim