[3] Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por:
T(x, y, z)=(x+y, y+z)
(a) [1.5 pontos] Determine uma base do núcleo da transformação.
(b) [1.0 ponto] Obtenha a dimensão da imagem da transformação.
(c) [0.5 ponto] Podemos afirmar que T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z)=(x+y,\;y+z)
e pede:
– (a) uma base do núcleo de T,
– (b) a dimensão da imagem de T,
– (c) verificar se T é sobrejetora.
Vamos usar teoria de transformações lineares, núcleo, imagem e o Teorema do Núcleo–Imagem.

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0)\;\Longleftrightarrow \begin{cases} x+y=0,\\\ y+z=0. \end{cases}
Da primeira equação x=-y e da segunda z=-y. Logo todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(-y,\;y,\,-y)=y\,(-1,1,-1).
Assim
\ker(T)=\{\,y(-1,1,-1)\mid y\in\mathbb{R}\}
e uma base de \ker(T) é \{(-1,1,-1)\}.

Passo 3

Para a dimensão da imagem podemos usar dois caminhos equivalentes:
  1. Computar explicitamente
    T(e_{1})=(1,0),\quad T(e_{2})=(1,1),\quad T(e_{3})=(0,1).
    Os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes e geram todos os três, logo \dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr)=2.
  2. Aplicar o Teorema do Núcleo–Imagem (rank–nullity):
    \dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.
    Como \dim(\ker(T))=1, segue \dim(\mathrm{Im}(T))=3-1=2.

Passo 4

O espaço-alvo é \mathbb{R}^{2}, que tem dimensão 2, e acabamos de ver que \dim(\mathrm{Im}(T))=2. Portanto \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2} e T é sobrejetora.

Resposta

(a) \{(-1,1,-1)\}
(b) 2
(c) Sim

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