[3.] Utilizando o mesmo método do exercício anterior, encontre a solução geral da EDO,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação de primeira ordem na forma
com - O domínio indicado é
. - A tarefa: encontrar a solução geral (uma relação implícita ou explícita envolvendo
e com constante arbitrária).
Passo 2
Transformar a equação para a forma
e observar a estrutura para escolher método.
A partir de temos
A partir de
Aqui o numerador escala como uma potência de
e
e o denominador tem termos
e
. Para tentar reduzir os diferentes graus, procuramos uma substituição do tipo
escolhendo
para que os termos
e
adquiram o mesmo fator de potência em
. Devemos ter
, logo
. Portanto escolhemos
Passo 3
Calcular
usando
(aqui
é função de
). Aplicando a regra do produto e a derivada de
:
Também substituímos
na expressão do membro direito:
Assim a equação
fica
Passo 4
Simplificar a equação anterior. No membro direito fatoramos
:
Multiplicando a equação por
(válido pois
) obtemos
Isolando
:
Passo 5
Juntar os termos do lado direito colocando sobre um denominador comum:
Calcule o somatório dentro dos parênteses:
Portanto
Passo 6
A equação para
é separável. Reescrevendo:
Expandindo a fração do lado esquerdo:
Assim a separação fica claramente integrável:
Passo 7
Integrar ambos os lados. Integral do lado esquerdo:
Calcule as primitivas:
Logo
A integral do lado direito é
onde
é constante de integração.
Portanto obtemos a relação
Passo 8
Manipular a expressão para substituir
por
. Multiplicando por
e juntando termos:
onde
. Passe
para o outro lado:
Usando
, calcule
:
Além disso
Substituindo esses resultados na relação obtida:
Passo 9
Interpretação final: a relação encontrada é a solução geral implícita da EDO no domínio indicado
. Podemos reescrever a constante
como uma constante arbitrária
. Uma forma alternativa equivalente (dividindo por
) é
.