[3.] Utilizando o mesmo método do exercício anterior, encontre a solução geral da EDO,
x y d x+\left(y^{4}-2 x^{2}\right) d y=0, \quad x>0, \quad y>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y\,dx+\bigl(y^{4}-2x^{2}\bigr)\,dy=0, \qquad x>0,\;y>0,
e pede a solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x\,y,\qquad N(x,y)=y^{4}-2x^{2}.
  • O domínio indicado é x>0,\;y>0.
  • A tarefa: encontrar a solução geral (uma relação implícita ou explícita envolvendo x e y com constante arbitrária).

Passo 2

Transformar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx} e observar a estrutura para escolher método.
A partir de x\,y\,dx+(y^{4}-2x^{2})\,dy=0 temos
\frac{dy}{dx}=-\frac{x\,y}{y^{4}-2x^{2}}.
Aqui o numerador escala como uma potência de x e y e o denominador tem termos y^{4} e x^{2}. Para tentar reduzir os diferentes graus, procuramos uma substituição do tipo
y=x^{k}v(x),
escolhendo k para que os termos y^{4} e x^{2} adquiram o mesmo fator de potência em x. Devemos ter 4k=2, logo k=\tfrac{1}{2}. Portanto escolhemos
y=\sqrt{x}\,v(x).

Passo 3

Calcular dy/dx usando y=\sqrt{x}\,v(x) (aqui v é função de x). Aplicando a regra do produto e a derivada de \sqrt{x}:
\frac{dy}{dx}=v'(x)\sqrt{x}+v(x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Também substituímos y na expressão do membro direito:
y^{4}=(\sqrt{x}\,v)^{4}=x^{2}v^{4}, \qquad x\,y=x\cdot\sqrt{x}\,v=x^{3/2}v.
Assim a equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x\,y}{y^{4}-2x^{2}} fica
v'\sqrt{x}+\frac{v}{2\sqrt{x}}=-\frac{x^{3/2}v}{x^{2}v^{4}-2x^{2}}.

Passo 4

Simplificar a equação anterior. No membro direito fatoramos x^{2}:
-\frac{x^{3/2}v}{x^{2}(v^{4}-2)}=-\frac{v}{\sqrt{x}\,(v^{4}-2)}.
Multiplicando a equação por \sqrt{x} (válido pois x>0) obtemos
x\,v'+\frac{v}{2}=-\frac{v}{v^{4}-2}.
Isolando x\,v':
x\,\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{v^{4}-2}-\frac{v}{2}.

Passo 5

Juntar os termos do lado direito colocando sobre um denominador comum:
-\frac{v}{v^{4}-2}-\frac{v}{2}=-v\!\left(\frac{1}{v^{4}-2}+\frac{1}{2}\right).
Calcule o somatório dentro dos parênteses:
\frac{1}{v^{4}-2}+\frac{1}{2}=\frac{2+v^{4}-2}{2(v^{4}-2)}=\frac{v^{4}}{2(v^{4}-2)}.
Portanto
x\,\frac{dv}{dx}=-v\cdot\frac{v^{4}}{2(v^{4}-2)}=-\frac{v^{5}}{2(v^{4}-2)}.

Passo 6

A equação para v é separável. Reescrevendo:
\frac{v^{4}-2}{v^{5}}\,dv=-\frac{1}{2}\,\frac{dx}{x}.
Expandindo a fração do lado esquerdo:
\frac{v^{4}-2}{v^{5}}=\frac{v^{4}}{v^{5}}-\frac{2}{v^{5}}=\frac{1}{v}-2v^{-5}.
Assim a separação fica claramente integrável:
\left(\frac{1}{v}-2v^{-5}\right)\,dv=-\frac{1}{2}\,\frac{dx}{x}.

Passo 7

Integrar ambos os lados. Integral do lado esquerdo:
\int\left(\frac{1}{v}-2v^{-5}\right)dv=\int\frac{1}{v}\,dv-2\int v^{-5}\,dv.
Calcule as primitivas:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln v, \qquad \int v^{-5}\,dv=\frac{v^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4}v^{-4}.
Logo
\int\left(\frac{1}{v}-2v^{-5}\right)dv=\ln v-2\left(-\frac{1}{4}v^{-4}\right)=\ln v+\frac{1}{2}v^{-4}.
A integral do lado direito é
\int -\frac{1}{2}\,\frac{dx}{x}=-\frac{1}{2}\ln x+C,
onde C é constante de integração.
Portanto obtemos a relação
\ln v+\frac{1}{2}v^{-4}=-\frac{1}{2}\ln x+C.

Passo 8

Manipular a expressão para substituir v por y. Multiplicando por 2 e juntando termos:
2\ln v+v^{-4}=-\ln x+C_1,
onde C_1=2C. Passe -\ln x para o outro lado:
2\ln v+v^{-4}+\ln x=C_1.
Usando v=\dfrac{y}{\sqrt{x}}, calcule 2\ln v+\ln x:
2\ln v+ \ln x = 2\bigl(\ln y-\tfrac{1}{2}\ln x\bigr)+\ln x=2\ln y-\ln x+\ln x=2\ln y=\ln(y^{2}).
Além disso
v^{-4}=\left(\frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{-4}=\frac{x^{2}}{y^{4}}.
Substituindo esses resultados na relação obtida:
\ln(y^{2})+\frac{x^{2}}{y^{4}}=C_1.

Passo 9

Interpretação final: a relação encontrada é a solução geral implícita da EDO no domínio indicado x>0,\;y>0. Podemos reescrever a constante C_1 como uma constante arbitrária C. Uma forma alternativa equivalente (dividindo por 2) é \ln y +\dfrac{1}{2}\dfrac{x^{2}}{y^{4}}=C_2.

Resposta

\ln\bigl(y^{2}\bigr)+\dfrac{x^{2}}{y^{4}}=C

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