[1.] Encontre a função
, e logo verifique que a EDO,
Encontre soluções determinando
a partir de
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial:
O que pede:
- Determinar uma função
tal que a forma diferencial acima seja a diferencial total de (ou seja, mostrar que a EDO é exata). - A partir de
(constante), encontrar as soluções .
Informações dadas que vamos usar:
- A equação dada pode ser vista como uma forma
com e . - Há singularidade óbvia em
, portanto soluções só fazem sentido em intervalos onde .
Passo 2
Breve explicação do conceito que vamos usar (aula curta e prática).
- Uma forma
é exata em um domínio se existe tal que - Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios adequados) para exatidão é
Isso vem de igualar as segundas derivadas mistas de : . - Se a forma for exata, podemos obter
integrando em relação a (tratando como constante) e ajustando com uma função de ; depois usamos para determinar essa função de .
Passo 3
Aplicando a condição de exatidão à forma dada.
- Identificamos
- Calculamos as derivadas parciais necessárias:
- Como
, a forma é exata (em qualquer domínio onde ). Portanto existe com as propriedades acima.
Passo 4
Construindo a função potencial
integrando
em relação a
.
- Começamos por
- Integramos em
, tratando como constante: Aqui é importante entender: ao integrar em com fixo, sai como constante do integral. - Calcule a integral. Lembre que
quando é tratado como constante. Assim onde é uma função desconhecida que aparece porque a integração em permite uma “constante” que pode depender de .
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
- Calcule
a partir da expressão encontrada: - Iguale isso a
: - Portanto
é constante: (constante real). Assim, a função potencial pode ser escrita, sem perda, como Como potencial é definido até uma constante aditiva, podemos tomar a forma mais simples
Passo 6
Obter a solução geral a partir de
.
- As curvas de nível
fornecem as soluções implícitas da EDO: onde é uma constante arbitrária (absorve também o anterior). - Resolvendo para
: - Observação sobre domínio: como a equação original tem termos com
e , as soluções fazem sentido em intervalos onde (por exemplo ou ). O caso não pertence ao domínio da equação dada.
Passo 7
Cheque rápido (dupla verificação) — derivada de
satisfaz a EDO:
- Compute
. Substituindo em : confere. Assim é solução.