[1.] Encontre a função \varphi, e logo verifique que a EDO,
-\frac{u}{t^{2}} d t+\frac{1}{t} d u=0 \quad \text { é exata. }é
Encontre soluções determinando u(t) a partir de \varphi(t, u)=K.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial:
-\frac{u}{t^{2}}\,dt+\frac{1}{t}\,du=0.
O que pede:
  • Determinar uma função \varphi(t,u) tal que a forma diferencial acima seja a diferencial total de \varphi (ou seja, mostrar que a EDO é exata).
  • A partir de \varphi(t,u)=K (constante), encontrar as soluções u(t).
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação dada pode ser vista como uma forma M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 com M(t,u)=-\dfrac{u}{t^{2}} e N(t,u)=\dfrac{1}{t}.
  • Há singularidade óbvia em t=0, portanto soluções só fazem sentido em intervalos onde t\neq0.

Passo 2

Breve explicação do conceito que vamos usar (aula curta e prática).
  • Uma forma M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du é exata em um domínio se existe \varphi(t,u) tal que \frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=N(t,u).
  • Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios adequados) para exatidão é \frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.Isso vem de igualar as segundas derivadas mistas de \varphi: \varphi_{tu}=\varphi_{ut}.
  • Se a forma for exata, podemos obter \varphi integrando M em relação a t (tratando u como constante) e ajustando com uma função de u; depois usamos \partial\varphi/\partial u=N para determinar essa função de u.

Passo 3

Aplicando a condição de exatidão à forma dada.
  • Identificamos M(t,u)=-\frac{u}{t^{2}},\qquad N(t,u)=\frac{1}{t}.
  • Calculamos as derivadas parciais necessárias: \frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\left(-\frac{u}{t^{2}}\right)=-\frac{1}{t^{2}},
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}}.
  • Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=-\dfrac{1}{t^{2}}, a forma é exata (em qualquer domínio onde t\neq0). Portanto existe \varphi(t,u) com as propriedades acima.

Passo 4

Construindo a função potencial \varphi(t,u) integrando M em relação a t.
  • Começamos por \frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)=-\frac{u}{t^{2}}.
  • Integramos em t, tratando u como constante: \varphi(t,u)=\int -\frac{u}{t^{2}}\,dt.Aqui é importante entender: ao integrar em t com u fixo, u sai como constante do integral.
  • Calcule a integral. Lembre que \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{u}{t}\right) = -\dfrac{u}{t^{2}} quando u é tratado como constante. Assim \varphi(t,u)=\frac{u}{t}+h(u),onde h(u) é uma função desconhecida que aparece porque a integração em t permite uma “constante” que pode depender de u.

Passo 5

Determinar h(u) usando a condição \partial\varphi/\partial u=N.
  • Calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial u} a partir da expressão encontrada: \frac{\partial\varphi}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u}{t}+h(u)\right)=\frac{1}{t}+h'(u).
  • Iguale isso a N(t,u)=\dfrac{1}{t}: \frac{1}{t}+h'(u)=\frac{1}{t}\quad\Longrightarrow\quad h'(u)=0.
  • Portanto h(u) é constante: h(u)=C (constante real). Assim, a função potencial pode ser escrita, sem perda, como \varphi(t,u)=\frac{u}{t}+C.Como potencial é definido até uma constante aditiva, podemos tomar a forma mais simples \varphi(t,u)=\frac{u}{t}.

Passo 6

Obter a solução geral a partir de \varphi(t,u)=K.
  • As curvas de nível \varphi(t,u)=K fornecem as soluções implícitas da EDO: \frac{u}{t}=K,onde K é uma constante arbitrária (absorve também o C anterior).
  • Resolvendo para u: u(t)=K\,t.
  • Observação sobre domínio: como a equação original tem termos com 1/t e 1/t^{2}, as soluções fazem sentido em intervalos onde t\neq0 (por exemplo t>0 ou t<0). O caso t=0 não pertence ao domínio da equação dada.

Passo 7

Cheque rápido (dupla verificação) — derivada de u(t)=K t satisfaz a EDO:
  • Compute du = K\,dt. Substituindo em -\dfrac{u}{t^{2}}\,dt+\dfrac{1}{t}\,du: -\frac{K t}{t^{2}}\,dt+\frac{1}{t}\cdot K\,dt = -\frac{K}{t}\,dt+\frac{K}{t}\,dt=0,confere. Assim u(t)=K t é solução.

Resposta

\varphi(t,u)=\dfrac{u}{t}
u(t)=K\,t

Exercícios relacionados