[3.] Mostre que a seguinte EDO não é exata;
t u^{\prime}=u \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
t\,u'(t)=u(t)\quad\text{em}\quad I\subseteq\mathbb{R}
não é uma equação exata.
Informações dadas:
  • A variável independente é t.
  • A função desconhecida é u(t).
  • A equação está escrita em forma de derivada: t\,u'=u.
  • Não foi fornecida nenhuma região específica no plano (t,u) além de I para t.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a EDO na forma diferencial padrão usada para testar exatidão, isto é
M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du = 0.
Partindo de \;t\,u'=u\; temos:
t\frac{du}{dt}=u
t\,du = u\,dt
t\,du - u\,dt = 0.
Portanto a equação tem a forma \;M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0\; com
M(t,u) = -u,\qquad N(t,u)=t.

Passo 3

Agora uma breve explicação do que significa “exata” (pra você não ficar perdido):
Uma equação diferencial na forma \;M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0\; é chamada exata em uma região D do plano (t,u) se existir uma função F(t,u) tal que
dF = \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial u}\,du = M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du.
Isto implica as igualdades
\frac{\partial F}{\partial t}=M,\qquad \frac{\partial F}{\partial u}=N.
Uma condição prática (necessária e suficiente quando as derivadas parciais são contínuas em D e D é simplesmente conexo) é
\frac{\partial M}{\partial u} = \frac{\partial N}{\partial t}\quad\text{em }D.
Aqui, \partial M/\partial u significa diferenciar M(t,u) em relação a u mantendo t fixo; análogo para \partial N/\partial t.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais para os M e N que encontramos:
M(t,u)=-u \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial u}=-1,
porque ao derivar -u em relação a u obtemos -1.
N(t,u)=t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial t}=1,
porque ao derivar t em relação a t obtemos 1.

Passo 5

Compare as duas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=-1,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=1.
Como -1\neq 1, a condição de exatidão \partial M/\partial u=\partial N/\partial t falha. Portanto a equação não é exata em qualquer região onde M e N sejam definidas (não há ponto onde -1=1).

Passo 6

Comentário final para a prova (motivador): mesmo não sendo exata, essa EDO é simples de resolver por outros métodos — por exemplo, separando variáveis:
\frac{du}{u}=\frac{dt}{t}\quad\Rightarrow\quad \ln|u|=\ln|t|+C\quad\Rightarrow\quad u=Ct,
mas isso é apenas um bônus; a pergunta pedia só mostrar que não é exata, o que já fizemos.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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