[3.] Mostre que a seguinte EDO não é exata;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
não é uma equação exata.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável independente é
. - A função desconhecida é
. - A equação está escrita em forma de derivada:
. - Não foi fornecida nenhuma região específica no plano
além de para .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a EDO na forma diferencial padrão usada para testar exatidão, isto é
Partindo de
temos:
Portanto a equação tem a forma
com
Passo 3
Agora uma breve explicação do que significa “exata” (pra você não ficar perdido):
Uma equação diferencial na forma é chamada exata em uma região
do plano
se existir uma função
tal que
Uma equação diferencial na forma
Isto implica as igualdades
Uma condição prática (necessária e suficiente quando as derivadas parciais são contínuas em
e
é simplesmente conexo) é
Aqui,
significa diferenciar
em relação a
mantendo
fixo; análogo para
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais para os
e
que encontramos:
porque ao derivar
em relação a
obtemos
.
porque ao derivar
em relação a
obtemos
.
Passo 5
Compare as duas derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão
falha. Portanto a equação não é exata em qualquer região onde
e
sejam definidas (não há ponto onde
).
Passo 6
Comentário final para a prova (motivador): mesmo não sendo exata, essa EDO é simples de resolver por outros métodos — por exemplo, separando variáveis:
mas isso é apenas um bônus; a pergunta pedia só mostrar que não é exata, o que já fizemos.
Resposta
A equação diferencial não é exata.