[14.] A EDO não linear,
t u^{\prime}+u^{2}=4 \quad \text { tem uma família de soluções; } \quad u(t)=2 \frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}íçõ
(a) Mostre que u(t)=2 e u(t)=-2 são soluções da EDO
(b) Mostre que u(t)=2 e u(t)=-2 são soluções da EDO que não são obtidas de qualquer seleção de K na família de soluções.
(c) Encontre b de maneira que não exista soluções desta família que satisfaça a condição inicial u(1)=b.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t\,u'(t)+u(t)^2=4
e uma família candidata de soluções
u(t)=2\,\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1},
com parâmetro K. As questões pedem:
  • (a) Mostrar que u(t)=2 e u(t)=-2 são soluções da EDO.
  • (b) Mostrar que essas duas soluções constantes não aparecem como membros da família acima (ou seja, não se obtêm por escolher um K apropriado dentro da família usada).
  • (c) Determinar quais valores de b não podem ser obtidos pela condição inicial u(1)=b usando soluções da família dada.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A EDO está escrita em termos de t e u.
  • A família proposta tem a forma dada com um parâmetro K.
  • Não foi explicitado se K deve ser não nulo, mas a forma da dedução da família exige observar restrições (veremos isso).

Passo 2

(a) Verificar que u(t)=2 e u(t)=-2 satisfazem a EDO por substituição direta.
Primeiro, se u(t)=2 então u'(t)=0. Substituindo na EDO:
t\cdot 0 + (2)^2 = 0 + 4 = 4,
logo a igualdade t\,u'+u^2=4 é satisfeita. Portanto u(t)=2 é solução.
Agora, se u(t)=-2 então u'(t)=0. Substituindo:
t\cdot 0 + (-2)^2 = 0 + 4 = 4,
também satisfeito. Portanto u(t)=-2 é solução.
Comentário didático: para verificar uma solução de uma EDO basta substituir a função e sua derivada na equação e checar se a igualdade é verdadeira. Aqui, como ambas são constantes, a derivada é zero e só resta verificar u^2=4, o que é verdade para u=\pm 2.

Passo 3

(Preparação: derivação da família e identificação das hipóteses usadas ao derivar)
Vamos resolver a EDO por separação de variáveis para ver de onde vem a família e quais hipóteses essa dedução usa. Começamos escrevendo a EDO como
u'=\frac{4-u^2}{t},
válido para t\neq 0. Agora separa-se as variáveis:
\frac{du}{4-u^2}=\frac{dt}{t}.
Aqui há uma observação importante: para poder dividir por 4-u^2 é necessário supor 4-u^2\neq 0, isto é, u\neq \pm 2. Isso significa que o procedimento de separação/integração só capta soluções com u(t)\neq\pm 2; as soluções constantes u=\pm 2 podem ter sido “perdidas” por essa divisão — por isso devem ser checadas separadamente (como fizemos no passo anterior).
Prosseguindo (para as soluções com u\neq\pm2) integramos. A integral à esquerda é uma integral padrão. Usando a fórmula \displaystyle \int\frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{a+u}{a-u}\right|+C com a=2, obtemos
\int\frac{du}{4-u^2}=\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{2+u}{2-u}\right|+C.
A integral à direita dá
\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C.
Igualando as integrais:
\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{2+u}{2-u}\right|=\ln|t|+C_1.
Multiplicando por 4 e exponenciando:
\ln\!\left|\frac{2+u}{2-u}\right|=4\ln|t|+C_2 \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{2+u}{2-u}\right|=C_3\,t^{4},
onde C_3=e^{C_2}>0. Como o lado direito é positivo, podemos remover o módulo absorvendo o sinal em C_3 (mas C_3>0 de fato). Escrevendo C_3=K^4 com K>0 (qualquer número positivo tem uma quarta raiz positiva), obtemos
\frac{2+u}{2-u}=K^{4}t^{4}.
Resolvend o sistema para u:
2+u = K^{4}t^{4}(2-u) \quad\Rightarrow\quad u\big(1+K^{4}t^{4}\big)=2\big(K^{4}t^{4}-1\big),
portanto
u(t)=2\,\frac{K^{4}t^{4}-1}{K^{4}t^{4}+1}=2\,\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}.
Isso reproduz a família dada. Repare que, na dedução, usou-se explicitamente que 4-u^2\neq0 (portanto u\neq\pm2) e também que a constante multiplicativa C_3 é estritamente positiva, logo K^4>0. Em particular K não pode ser zero na dedução (pois K^4=C_3>0). Esses fatos serão cruciais para o item (b).
Didática extra: a escolha C_3=K^4 é apenas uma parametrização conveniente (como K^4>0); poderíamos ter escrito C_3 diretamente, mas escrevê-la como uma quarta potência facilita a forma simétrica em K t.

Passo 4

(b) Mostrar que u(t)=2 e u(t)=-2 não surgem de qualquer escolha de K na família.
Primeiro, veja se algum K produz u(t)\equiv 2. Suponha que exista K tal que, para todo t no domínio, valha
2\,\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}=2.
Dividindo por 2 (válido) isso dá
\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}=1.
Multiplicando ambos os lados por (K t)^{4}+1:
(K t)^{4}-1=(K t)^{4}+1.
Isso implica -1=1, uma contradição. Logo não existe K que produza identicamente u(t)=2.
Agora, veja se algum K produz u(t)\equiv -2. Suponha
2\,\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}=-2.
Dividindo por 2:
\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1}=-1.
Multiplicando:
(K t)^{4}-1=-(K t)^{4}-1 \quad\Rightarrow\quad 2(K t)^{4}=0.
Isso força (K t)^{4}=0 para todo t do domínio, o que exige K=0. Contudo, na dedução da família a constante multiplicativa C_3=K^4 veio de e^{C_2} e, portanto, C_3>0. Assim, a derivação da família pressupõe K^4>0, isto é, K\neq 0. Com K\neq 0 a equação anterior não se satisfaz. Conclusão: dentro da família obtida pelo procedimento (onde K^4>0) não existe K que gere u(t)\equiv -2.
Resumo didático: as soluções constantes u=\pm2 existem e foram verificadas no passo (a), mas o método de separação/integração que levou à família dividiu por 4-u^2 e assumiu C_3>0, portanto essas constantes foram excluídas do conjunto produzido por esse método — isso é um fenômeno comum: métodos algébricos que dividem por algo podem “perder” soluções que anulariam o divisor, por isso sempre checamos constantes separadamente.

Passo 5

(c) Determinar os valores de b tais que nenhuma solução da família satisfaça u(1)=b.
Avalie a família em t=1:
u(1)=2\,\frac{K^{4}-1}{K^{4}+1}.
Para simplificar, coloque x=K^{4}. Na dedução da família obtemos x=C_3>0, isto é, x>0. Assim consideramos a função
f(x)=2\,\frac{x-1}{x+1},\qquad x>0.
Vamos estudar a imagem de f quando x>0.
  • Limite quando x\to 0^{+}:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=2\,\frac{0-1}{0+1}=-2.
  • Limite quando x\to +\infty:
\lim_{x\to +\infty} f(x)=2\,\frac{x-1}{x+1}\xrightarrow[x\to\infty]{}2.
  • A função f é contínua para x>0. Para x>0 e finito, f(x) nunca atinge \pm 2 porque f(x)=-2 precisaria x=0 e f(x)=2 seria impossível (ver passo 4), e ambos estão fora de x>0. Portanto a imagem de f para x>0 é o intervalo aberto (-2,2).
Conclusão: para qualquer b tal que |b|<2 existe x>0 (logo K real não nulo) com f(x)=b, isto é, existe um K tal que u(1)=b. Porém se |b|\ge 2 então não existe x>0 com f(x)=b. Em particular, b=2 e b=-2 não são atingidos por nenhuma escolha de K com K^4>0; o caso b=-2 corresponderia a x=0 (ou K=0), mas essa escolha não pertence à família obtida pela integração (porque C_3=e^{C_2}>0). Valores com |b|>2 também são impossíveis porque f(x)\in(-2,2) para x>0.
Portanto os valores de b para os quais não existe solução da família satisfazendo u(1)=b são exatamente aqueles com |b|\ge 2.

Resposta

(a) u(t)=2 e u(t)=-2 são soluções da EDO.
(b) Nenhuma dessas soluções constantes é obtida por escolha de K na família u(t)=2\frac{(K t)^{4}-1}{(K t)^{4}+1} com K^4>0 (isto é, para nenhum K\neq 0).
(c) Não existe solução da família que satisfaça u(1)=b quando |b|\ge 2.

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