Resolver os problemas de valor inicial,
t u u^{\prime}-u^{2}=t^{2}, u(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t\,u\,u' - u^{2} = t^{2},\qquad u(1)=0.
O que se pede é encontrar a(s) função(ões) u(t) que satisfaçam a equação diferencial e a condição inicial indicada. As informações relevantes são:
  • A equação envolve t, u(t) e u'(t).
  • A condição inicial é u(1)=0.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma mais simples. Uma ideia natural é dividir por t^{2} (quando t\neq0) e notar que surgem termos com u^{2} e t^{2} — isso sugere tentar a substituição
u(t)=t\,v(t),
onde v(t) é uma nova função desconhecida. Vou explicar por que isso ajuda e desenvolver as contas com calma.
Primeiro calculemos u' em termos de v. Como u=t v, pela regra do produto:
u' = v + t v'.
Agora substituímos u e u' na equação original. A equação é
t\,u\,u' - u^{2} = t^{2}.
Substituindo u=t v e u'=v+t v' obtemos
t\cdot (t v)\cdot (v + t v') - (t v)^{2} = t^{2}.
Desenvolvendo os produtos:
t^{2} v(v + t v') - t^{2} v^{2} = t^{2}.
Observe que t^{2} v\cdot v = t^{2} v^{2} aparece com sinal positivo e negativo, então eles se cancelam, sobrando
t^{3} v v' = t^{2}.

Passo 3

Simplificamos a expressão dividindo por t^{2} (aqui assumimos t\neq0; o ponto t=0 fica fora do domínio desta divisão):
t v v' = 1.
Agora note que v v' é metade da derivada de v^{2}, pois
\frac{d}{dt}\big(v^{2}\big) = 2 v v'.
Portanto podemos reescrever t v v' = 1 como
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(v^{2}\big) \cdot t = 1,
ou mais diretamente multiplicando por 2:
\frac{d}{dt}\big(v^{2}\big) = \frac{2}{t}.
Isto é uma equação agora em v^{2} que é separável/integrável imediatamente.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t. A integral da esquerda é v^{2} e a da direita é 2\ln|t| + C. Assim:
v^{2} = 2\ln|t| + C,
onde C é constante de integração. Voltando à variável u pela relação u=t v, temos
u(t) = t\,v(t) = t\cdot \pm\sqrt{\,2\ln|t| + C\,}.
Agora aplicamos a condição inicial u(1)=0. Como u(1)=1\cdot v(1)=v(1)=0, substituindo t=1 em v^{2}=2\ln|t|+C
0 = 2\ln|1| + C = 2\cdot 0 + C,
logo C=0. Portanto
v^{2} = 2\ln|t|
e
v(t)=\pm\sqrt{2\ln|t|},\qquad u(t)=\pm t\sqrt{2\ln|t|}.

Passo 5

Precisamos agora discutir o domínio onde essa solução faz sentido. Como v^{2} deve ser não-negativo, é necessário 2\ln|t|\ge0, ou seja \ln|t|\ge0, o que equivale a |t|\ge1. Como a condição inicial está em t=1, o intervalo natural contendo o ponto inicial é t\ge1 (podemos também considerar soluções em t\le -1, mas isso não conecta ao ponto t=1). Portanto as soluções que passam por (1,0) são dadas por
u(t) = \pm t\sqrt{2\ln t},\qquad t\ge1.
Um comentário importante sobre unicidade: escrever a equação na forma u' = \dfrac{u^{2}+t^{2}}{t u}= \dfrac{u}{t} + \dfrac{t}{u} mostra que o lado direito não é definido quando u=0. Assim o Teorema de existência e unicidade (que exige continuidade e Lipschitz do lado direito num vizinhança do ponto inicial) não se aplica em u(1)=0. Isso explica por que podem existir duas soluções distintas (o sinal + e o sinal -) que ambas satisfazem a condição inicial u(1)=0.

Resposta

u(t)=\pm t\sqrt{2\ln t},\qquad t\ge1.

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