Resolver os problemas de valor inicial,
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede é encontrar a(s) função(ões)
que satisfaçam a equação diferencial e a condição inicial indicada. As informações relevantes são:
- A equação envolve
, e . - A condição inicial é
.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma mais simples. Uma ideia natural é dividir por
(quando
) e notar que surgem termos com
e
— isso sugere tentar a substituição
onde
é uma nova função desconhecida. Vou explicar por que isso ajuda e desenvolver as contas com calma.
Primeiro calculemos
em termos de
. Como
, pela regra do produto:
Agora substituímos
e
na equação original. A equação é
Substituindo
e
obtemos
Desenvolvendo os produtos:
Observe que
aparece com sinal positivo e negativo, então eles se cancelam, sobrando
Passo 3
Simplificamos a expressão dividindo por
(aqui assumimos
; o ponto
fica fora do domínio desta divisão):
Agora note que
é metade da derivada de
, pois
Portanto podemos reescrever
como
ou mais diretamente multiplicando por
:
Isto é uma equação agora em
que é separável/integrável imediatamente.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral da esquerda é
e a da direita é
. Assim:
onde
é constante de integração. Voltando à variável
pela relação
, temos
Agora aplicamos a condição inicial
. Como
, substituindo
em
dá
logo
. Portanto
e
Passo 5
Precisamos agora discutir o domínio onde essa solução faz sentido. Como
deve ser não-negativo, é necessário
, ou seja
, o que equivale a
. Como a condição inicial está em
, o intervalo natural contendo o ponto inicial é
(podemos também considerar soluções em
, mas isso não conecta ao ponto
). Portanto as soluções que passam por
são dadas por
Um comentário importante sobre unicidade: escrever a equação na forma
mostra que o lado direito não é definido quando
. Assim o Teorema de existência e unicidade (que exige continuidade e Lipschitz do lado direito num vizinhança do ponto inicial) não se aplica em
. Isso explica por que podem existir duas soluções distintas (o sinal
e o sinal
) que ambas satisfazem a condição inicial
.