[2.] Encontre uma solução do PVI,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial (PVI)
O que é pedido: encontrar uma solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está escrita na forma diferencial
com e . - A condição inicial é
, que indica que a solução deve assumir valor em .
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar simplificar a equação para uma forma que conhecemos (por exemplo, separável ou linear). Observando
podemos dividir ambos os termos por
, desde que
e
na região que estamos considerando. Justificativa: divisão por uma expressão é permitida se essa expressão não for zero na vizinhança do ponto de interesse; aqui a condição inicial tem
e
, então é seguro trabalhar localmente em torno de
assumindo
e
não nulos.
Fazendo a divisão por
obtemos
ou seja
Passo 3
Reescrevendo a equação obtida para isolar os termos em
e
, temos
Agora vemos que podemos separar as variáveis: colocar todos os fatores com
de um lado e todos os fatores com
do outro. Dividindo ambos os lados por
(novamente assumindo
e
) fica
Isto é uma equação separável padrão: integra-se cada lado em relação à sua variável.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Sabendo que
, obtemos
onde
é constante de integração. Podemos reorganizar para agrupar logaritmos:
Usando a propriedade dos logaritmos
e
, obtemos
Exponentiando ambos os lados dá
onde
é uma constante positiva. Podemos então escrever, sem os módulos (absorvendo sinais em
quando necessário),
onde
é uma constante real (no nosso contexto de
perto de
tomar
é natural, então
).
Passo 5
Isolando
,
portanto
Agora usamos a condição inicial
para determinar a constante
e o sinal. Substituindo
e
em
obtemos
Como
, escolhemos o sinal positivo. Logo
Passo 6
Verificação rápida: podemos derivar
para checar que satisfaz a equação original. Temos
Reescrevendo a equação original como diferencial ordinário em forma
ou como relação entre
e
, usando
(forma simplificada) e substituindo
:
Substituindo
e
temos
logo a igualdade é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita:
.
Observação sobre domínio: a expressão
requer
para a raiz real principal; como a condição inicial está em
, a solução é válida para
(pelo menos numa vizinhança de
).