[2.] Encontre uma solução do PVI,
t u^{2} d t+\left(2 t^{2} u\right) d u=0, \quad u(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial (PVI)
t\,u^{2}\,dt+\left(2t^{2}u\right)\,du=0, \qquad u(1)=2.
O que é pedido: encontrar uma solução u(t) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita na forma diferencial M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 com M(t,u)=t\,u^{2} e N(t,u)=2t^{2}u.
  • A condição inicial é u(1)=2, que indica que a solução deve assumir valor 2 em t=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar simplificar a equação para uma forma que conhecemos (por exemplo, separável ou linear). Observando
t\,u^{2}\,dt+2t^{2}u\,du=0,
podemos dividir ambos os termos por t\,u, desde que t\neq0 e u\neq0 na região que estamos considerando. Justificativa: divisão por uma expressão é permitida se essa expressão não for zero na vizinhança do ponto de interesse; aqui a condição inicial tem t=1 e u(1)=2\neq0, então é seguro trabalhar localmente em torno de t=1 assumindo t e u não nulos.
Fazendo a divisão por t\,u obtemos
\frac{t\,u^{2}}{t\,u}\,dt+\frac{2t^{2}u}{t\,u}\,du=0
ou seja
u\,dt+2t\,du=0.

Passo 3

Reescrevendo a equação obtida para isolar os termos em t e u, temos
u\,dt = -2t\,du.
Agora vemos que podemos separar as variáveis: colocar todos os fatores com t de um lado e todos os fatores com u do outro. Dividindo ambos os lados por t\,u (novamente assumindo t\neq0 e u\neq0) fica
\frac{dt}{t} = -2\,\frac{du}{u}.
Isto é uma equação separável padrão: integra-se cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int \frac{dt}{t} = -2\int \frac{du}{u}.
Sabendo que \displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C, obtemos
\ln|t| = -2\ln|u| + C,
onde C é constante de integração. Podemos reorganizar para agrupar logaritmos:
\ln|t| + 2\ln|u| = C.
Usando a propriedade dos logaritmos a\ln x = \ln(x^{a}) e \ln a + \ln b = \ln(ab), obtemos
\ln\big(|t|\,|u|^{2}\big) = C.
Exponentiando ambos os lados dá
|t|\,|u|^{2} = e^{C} = K,
onde K>0 é uma constante positiva. Podemos então escrever, sem os módulos (absorvendo sinais em K quando necessário),
t\,u^{2} = C_{1},
onde C_{1} é uma constante real (no nosso contexto de t perto de 1 tomar t>0 é natural, então C_{1}>0).

Passo 5

Isolando u,
u^{2} = \frac{C_{1}}{t},
portanto
u(t) = \pm\sqrt{\frac{C_{1}}{t}}.
Agora usamos a condição inicial u(1)=2 para determinar a constante C_{1} e o sinal. Substituindo t=1 e u=2 em t\,u^{2}=C_{1} obtemos
C_{1} = 1\cdot 2^{2} = 4.
Como u(1)=2>0, escolhemos o sinal positivo. Logo
u(t) = \sqrt{\frac{4}{t}} = \frac{2}{\sqrt{t}}.

Passo 6

Verificação rápida: podemos derivar u(t)=2t^{-1/2} para checar que satisfaz a equação original. Temos
u'(t) = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)t^{-3/2} = -t^{-3/2}.
Reescrevendo a equação original como diferencial ordinário em forma M\,dt+N\,du=0 ou como relação entre dt e du, usando u\,dt+2t\,du=0 (forma simplificada) e substituindo du=u'(t)\,dt:
u\,dt+2t\,u'(t)\,dt = \big(u+2t\,u'(t)\big)\,dt.
Substituindo u=2t^{-1/2} e u'=-t^{-3/2} temos
2t^{-1/2}+2t\cdot(-t^{-3/2}) = 2t^{-1/2}-2t^{-1/2}=0,
logo a igualdade é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita: u(1)=2.
Observação sobre domínio: a expressão u(t)=2/\sqrt{t} requer t>0 para a raiz real principal; como a condição inicial está em t=1>0, a solução é válida para t>0 (pelo menos numa vizinhança de 1).

Resposta

u(t)=\frac{2}{\sqrt{t}},\qquad t>0

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