[5] (2,0 pontos)Encontre a equação da esfera de centro C=(1,2,3) e tangente ao plano \pi: x-2 y+2 z-5=0.
Passo 1
O enunciado pede a equação da esfera de centro C=(1,2,3) que é tangente ao plano
\pi\colon x - 2y + 2z - 5 = 0.
O conteúdo necessário envolve a forma geral da esfera (centro e raio) e a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
A equação geral de uma esfera de centro C=(x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
No nosso caso, (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3), logo a esfera será
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = r^2.
Passo 3
Para que a esfera seja tangente ao plano \pi, o raio r deve ser igual à distância de C a \pi. A fórmula da distância de (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Aqui A=1, B=-2, C=2, D=-5 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3). Então