[5] (2,0 pontos)Encontre a equação da esfera de centro C=(1,2,3) e tangente ao plano \pi: x-2 y+ 2 z-5=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera de centro C=(1,2,3) que é tangente ao plano
\pi\colon x - 2y + 2z - 5 = 0.
O conteúdo necessário envolve a forma geral da esfera (centro e raio) e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

A equação geral de uma esfera de centro C=(x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
No nosso caso, (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3), logo a esfera será
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = r^2.

Passo 3

Para que a esfera seja tangente ao plano \pi, o raio r deve ser igual à distância de C a \pi. A fórmula da distância de (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Aqui A=1, B=-2, C=2, D=-5 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3). Então
\bigl|1\cdot1 + (-2)\cdot2 + 2\cdot3 -5\bigr| = \bigl|1 - 4 + 6 - 5\bigr| = \bigl|-2\bigr| =2,
\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.
Logo
r = d = \frac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo r^2 = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9} na equação da esfera, obtemos
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = \frac{4}{9}.

Resposta

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = \frac{4}{9}.

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