[1,5 \mathrm{pt}] Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{\sqrt{n}}(x+4)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -4:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{\sqrt{n}}\,(x+4)^{n}.
O conteúdo aqui é teste da raiz (ou razão) para séries de potências, que nos dá o raio R como
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
onde a_n=\frac{5^n}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à n-ésima raiz do termo geral:
\sqrt[n]{\left|\frac{5^n}{\sqrt{n}}\,(x+4)^n\right|} =\frac{5\,|x+4|}{\sqrt[n]{\sqrt{n}}} \longrightarrow 5\,|x+4|,\quad n\to\infty.
Para convergir, precisamos de
5\,|x+4|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+4|<\frac{1}{5}.
Logo o raio de convergência é
R=\frac{1}{5}.

Passo 3

O intervalo aberto de convergência, centrado em -4, é
-4-\tfrac{1}{5}<x<-4+\tfrac{1}{5} \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{21}{5}<x<-\frac{19}{5}.

Passo 4

Testamos os extremos:
  1. Em x=-4+\tfrac{1}{5}=-\tfrac{19}{5} temos
(x+4)^n=\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^n
e a série vira \sum1/\sqrt{n}, que diverge (série p-com p=\tfrac12\le1).
  1. Em x=-4-\tfrac{1}{5}=-\tfrac{21}{5} temos
(x+4)^n=\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)^n
e a série é
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}},
que converge condicionalmente pelo critério da série alternada ( 1/\sqrt{n}\searrow0).

Resposta

Raio de convergência: R=\tfrac{1}{5}.
Intervalo de convergência: \bigl[-\tfrac{21}{5},-\tfrac{19}{5}\bigr).

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