Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências
.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo aqui é teste da raiz (ou razão) para séries de potências, que nos dá o raio
como
onde
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz à
-ésima raiz do termo geral:
Para convergir, precisamos de
Logo o raio de convergência é
Passo 3
O intervalo aberto de convergência, centrado em
, é
Passo 4
Testamos os extremos:
- Em
temos
e a série vira
, que diverge (série
-com
).
- Em
temos
e a série é
que converge condicionalmente pelo critério da série alternada (
).
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: