Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{50^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{50^n}
e pede para classificá-la em convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e usaremos o teste da razão para determinar a convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(n+1)!}{50^n}
e calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)!}{50^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{50^n}} = \frac{(n+2)!}{(n+1)!}\,\frac{50^n}{50^{n+1}} = \frac{n+2}{50}.

Passo 3

Avaliamo o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{50} = \infty.

Passo 4

Pelo teste da razão, se \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1, a série diverge. Aqui o limite é infinito (maior que 1), logo a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{50^n} é divergente.

Exercícios relacionados