Para cada transformação abaixo, verifique se é linear e, caso seja, encontre seu núcleo e sua imagem. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x-y, 2 y-z, 0)
Devemos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar
o núcleo \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3\mid T(v)=0\},
a imagem \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Passo 2
Para ver que T é linear, notamos que cada coordenada de T(x,y,z) é uma combinação linear de x,y,z sem termo constante. Em particular, para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e \lambda\in\mathbb{R} vale
Uma forma sistemática é usar a matriz de T\) na base canônica. Se escrevemos
\[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
então T(x,y,z)^T = A\,(x,y,z)^T. Para achar \ker(T), resolvemos