Para cada transformação abaixo, verifique se é linear e, caso seja, encontre seu núcleo e sua imagem.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x-y, 2 y-z, 0)

Passo 1

O enunciado define a transformação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x - y,\;2y - z,\;0\,)
Devemos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar
  • o núcleo \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3\mid T(v)=0\},
  • a imagem \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}.

Passo 2

Para ver que T é linear, notamos que cada coordenada de T(x,y,z) é uma combinação linear de x,y,z sem termo constante. Em particular, para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e \lambda\in\mathbb{R} vale
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Logo, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Uma forma sistemática é usar a matriz de T\) na base canônica. Se escrevemos \[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
então T(x,y,z)^T = A\,(x,y,z)^T. Para achar \ker(T), resolvemos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x - y\\\ 2y - z\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa equação obtemos o sistema
\begin{cases} x - y = 0,\\\\ 2y - z = 0, \end{cases}
ou seja x=y\] e \(z=2y. Logo
(x,y,z) = y\,(1,1,2),
e
\ker(T) = \{\,t(1,1,2)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,1,2)\}.

Passo 4

Para a imagem, podemos usar as colunas de A ou calcular imagens de vetores da base. As colunas de A são
A e_1 = (1,0,0),\quad A e_2 = (-1,2,0),\quad A e_3 = (0,-1,0).
Note que A e_3 = -\tfrac12\,A e_1 - \tfrac12\,A e_2, então só precisamos de dois vetores independentes. Assim
\mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\{(1,0,0),\,(-1,2,0)\}.

Resposta

T é linear.
\ker(T) = \mathrm{span}\{(1,1,2)\}, \qquad \mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\{(1,0,0),\,(-1,2,0)\}.

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