Verifique se as funções abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2} :
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=-x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\bigl((x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})\bigr)=-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Para isso, precisamos testar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R} e u=(x_{1},y_{1}), v=(x'_{1},y'_{1}), w=(x_{2},y_{2}). Então
f\bigl(\alpha u+\beta v,\;w\bigr) = -\bigl(\alpha x_{1}+\beta x'_{1}\bigr)x_{2} -\bigl(\alpha y_{1}+\beta y'_{1}\bigr)y_{2} =\alpha\,f(u,w)+\beta\,f(v,w).
De modo análogo mostra-se linearidade no segundo argumento. Logo, f é bilinear.

Passo 3

Verificamos a simetria. Para u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}) temos
f(u,v)=-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} \quad\text{e}\quad f(v,u)=-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1} =-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},
logo f(u,v)=f(v,u). Portanto, f é simétrica.

Passo 4

Testamos a positividade definida calculando f(v,v). Para v=(x,y)\neq(0,0)
f(v,v)=-x^{2}-y^{2}=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Como x^{2}+y^{2}>0 para v\neq(0,0), segue que f(v,v)<0. Isso viola a condição de positividade \,f(v,v)>0 para todo v\neq0.

Resposta

A aplicação f não é um produto interno em \mathbb{R}^{2}, pois não satisfaz a positividade definida.

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