Verifique se as funções abaixo são produtos internos em
:
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=-x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2};
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=-x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2};
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isso, precisamos testar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Seja
e
,
,
. Então
De modo análogo mostra-se linearidade no segundo argumento. Logo,
é bilinear.
Passo 3
Verificamos a simetria. Para
e
temos
logo
. Portanto,
é simétrica.
Passo 4
Testamos a positividade definida calculando
. Para
Como
para
, segue que
. Isso viola a condição de positividade
para todo
.
Resposta
A aplicação
não é um produto interno em
, pois não satisfaz a positividade definida.