[1,0 \mathrm{pt}] Mostre pela definição de limite que
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-3 x+1\right)=-1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon - \delta, que
\lim_{x\to1}\bigl(x^2-3x+1\bigr)=-1.
O que precisamos é, dado \varepsilon>0, encontrar \delta>0 tal que
se 0<|x-1|<\delta então
\bigl|(x^2-3x+1)-(-1)\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos calculando a diferença em valor absoluto:
\bigl|(x^2-3x+1)-(-1)\bigr| =\bigl|x^2-3x+2\bigr| =\bigl|(x-1)(x-2)\bigr|.

Passo 3

Para controlar \bigl|(x-1)(x-2)\bigr|, vamos majorar |x-2|. Se exigirmos
|x-1|<1,
então x fica no intervalo (0,2) e
|x-2|=|(x-1)-1|\le|x-1|+1<2.

Passo 4

Assim, sempre que 0<|x-1|<1 temos
\bigl|(x-1)(x-2)\bigr|<2\,|x-1|.
Para garantir que isso fique abaixo de \varepsilon, basta pedir
2\,|x-1|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 5

Portanto, escolhendo
\delta=\min\Bigl\{1,\frac{\varepsilon}{2}\Bigr\},
temos que sempre que 0<|x-1|<\delta vale simultaneamente |x-1|<1 e |x-1|<\varepsilon/2. Logo
\bigl|(x^2-3x+1)-(-1)\bigr|<2\,|x-1|<\varepsilon.

Resposta

Dado \varepsilon>0, basta tomar \displaystyle \delta=\min\{1,\varepsilon/2\}. Então 0<|x-1|<\delta implica \bigl|(x^2-3x+1)-(-1)\bigr|<\varepsilon, o que prova que \lim_{x\to1}(x^2-3x+1)=-1.

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