Calcule o limite ou mostre que não existe:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{|t+1|-1}{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to 0}\frac{|t+1|-1}{t}.
O conteúdo aqui envolve limites e a definição por partes da função valor absoluto. Para resolver, vamos identificar o sinal de t+1 perto de t=0 e depois aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Para valores de t próximos a 0, tem-se
t+1>0,
pois 1+t fica em torno de 1. Portanto, nessa vizinhança vale
|t+1|=t+1.
Substituindo na expressão do limite, obtemos
\frac{|t+1|-1}{t} =\frac{(t+1)-1}{t} =\frac{t}{t}.

Passo 3

Para t\neq0, a fração \tfrac{t}{t} é igual a 1. Assim, num intervalo removido de zero a expressão vale sempre 1. Logo, pelo caráter constante da função nesse entorno,
\lim_{t\to0}\frac{t}{t}=1.

Resposta

1

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