EXTRA [1,0 \mathrm{pt}] Dê um exemplo de uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \operatorname{com} f(0)=1, sendo que f(x) é descontínua em x=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que f(0)=1 e que seja descontínua em x=0. Para isso, vamos usar o critério de continuidade: f é contínua em 0 se, e somente se,
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).
Logo, basta escolher uma definição de f(x) para x\neq0 cujo limite em 0 seja diferente de 1.

Passo 2

Definimos a função f\) por partes da seguinte forma: \[f(x)= \begin{cases} 0, & x\neq0,\\\\ 1, & x=0. \end{cases}
Note que, por construção, já temos (f(0)=1].

Passo 3

Para verificar a descontinuidade, calculamos o limite lateral:
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0\,(x\neq0)}0 =0.

Passo 4

Como obtivemos
\lim_{x\to0}f(x)=0 \neq f(0)=1,
concluímos que f não satisfaz o critério de continuidade em 0, logo é descontínua em x=0.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 0, & x\neq0,\\\\ 1, & x=0 \end{cases}

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