Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2-x^{2}+2 x^{3}}{x^{2}+x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2 - x^{2} + 2x^{3}}{x^{2} + x + 2}.
O conteúdo é limites no infinito de funções racionais; vamos usar a comparação de graus dos polinômios e a ideia de termos dominantes.

Passo 2

Em uma função racional \tfrac{P(x)}{Q(x)}, se \deg P>\deg Q, então
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\pm\infty
conforme o sinal do termo de maior grau. Aqui \deg P=3 e \deg Q=2, logo o limite diverge.

Passo 3

Para achar o sinal, basta olhar os termos de maior grau. No numerador o termo dominante é 2x^{3} e no denominador é x^{2}. Assim, para x grande,
\frac{2 - x^{2} + 2x^{3}}{x^{2} + x + 2} \approx \frac{2x^{3}}{x^{2}} = 2x.

Passo 4

Como
\lim_{x\to\infty} 2x = +\infty,
concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{2 - x^{2} + 2x^{3}}{x^{2} + x + 2} = +\infty.

Resposta

+\infty

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