[1,5 \mathrm{pts}]\) É dado o sistema de PVI: \(\begin{cases}x_{1}^{\prime}=-3 x_{1}+\sqrt{2} x_{2}, & x_{1}(0)=1 \\\ x_{2}^{\prime}=\sqrt{2} x_{1}-2 x_{2}, & x_{2}(0)=2 .\end{cases}
Sabendo (isto você não precisa calcular) que os autovalores e autovetores da matriz \left(\begin{array}{cc}-3 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & -2\end{array}\right) são respectivamente na mesma ordem \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-4 e \boldsymbol{\xi}^{1}=(1, \sqrt{2})^{T}, \boldsymbol{\xi}^{2}=(\sqrt{2},-1)^{T}. Calcule a solução x_{1}(t) e x_{2}(t) que satisfaçam o PVI dado.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI para o vetor \mathbf{x}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T} satisfez
\mathbf{x}'=A\,\mathbf{x},\quad A=\begin{pmatrix}-3 & \sqrt{2}\\[6pt]\sqrt{2} & -2\end{pmatrix},
com condição inicial \mathbf{x}(0)=(1,2)^{T}. Como conhecemos os autovalores
\lambda_{1}=-1,\;\lambda_{2}=-4 e autovetores
\boldsymbol{\xi}^{1}=(1,\sqrt{2})^{T},\;\boldsymbol{\xi}^{2}=(\sqrt{2},-1)^{T},
vamos usar diagonalização para resolver o sistema.]

Passo 2

A solução geral de um sistema linear com autovetores \boldsymbol{\xi}^{1},\boldsymbol{\xi}^{2} é
\mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\,\boldsymbol{\xi}^{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\,\boldsymbol{\xi}^{2} = c_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\sqrt{2}\end{pmatrix} + c_{2}e^{-4t}\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Impondo \mathbf{x}(0)=(1,2)^{T} obtemos
c_{1}\begin{pmatrix}1\\sqrt{2}\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
o que dá o sistema
\begin{cases} c_{1} + \sqrt{2}\,c_{2} = 1,\\[4pt] \sqrt{2}\,c_{1} - c_{2} = 2. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo
\begin{cases} c_{1} = 1 - \sqrt{2}\,c_{2},\\\ \sqrt{2}(1-\sqrt{2}\,c_{2}) - c_{2} = 2, \end{cases}
encontra-se
c_{1} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{3}, \quad c_{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{3}.

Passo 5

Substituindo c_{1},c_{2} na solução geral, obtemos
x_{1}(t) = c_{1}e^{-t} + \sqrt{2}\,c_{2}e^{-4t}, \quad x_{2}(t) = \sqrt{2}\,c_{1}e^{-t} - c_{2}e^{-4t}.

Resposta

x_{1}(t) = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{3}\,e^{-t} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)}{3}\,e^{-4t}, \qquad x_{2}(t) = \frac{\sqrt{2}(1 + 2\sqrt{2})}{3}\,e^{-t} - \frac{\sqrt{2}-2}{3}\,e^{-4t}.

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