[1,5 \mathrm{pts}]\) É dado o sistema de PVI: \(\begin{cases}x_{1}^{\prime}=-3 x_{1}+\sqrt{2} x_{2}, & x_{1}(0)=1 \\\ x_{2}^{\prime}=\sqrt{2} x_{1}-2 x_{2}, & x_{2}(0)=2 .\end{cases}
Sabendo (isto você não precisa calcular) que os autovalores e autovetores da matriz \left(\begin{array}{cc}-3 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & -2\end{array}\right) são respectivamente na mesma ordem \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-4 e \boldsymbol{\xi}^{1}=(1, \sqrt{2})^{T}, \boldsymbol{\xi}^{2}=(\sqrt{2},-1)^{T}. Calcule a solução x_{1}(t) e x_{2}(t) que satisfaçam o PVI dado.
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI para o vetor \mathbf{x}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T} satisfez
com condição inicial \mathbf{x}(0)=(1,2)^{T}. Como conhecemos os autovalores \lambda_{1}=-1,\;\lambda_{2}=-4 e autovetores \boldsymbol{\xi}^{1}=(1,\sqrt{2})^{T},\;\boldsymbol{\xi}^{2}=(\sqrt{2},-1)^{T},
vamos usar diagonalização para resolver o sistema.]
Passo 2
A solução geral de um sistema linear com autovetores \boldsymbol{\xi}^{1},\boldsymbol{\xi}^{2} é