[2,0 \mathrm{pts}] Obtenha a solução geral real para o sistema \mathbf{x}^{\prime}\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral real do sistema linear de coeficientes constantes
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[6pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é o estudo de autovalores e autovetores de sistemas lineares e, no caso de autovalores complexos, usar as partes real e imaginária da solução complexa para obter a solução real.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A.
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -5 \\[3pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)\cdot1 =\lambda^2+1.
As raízes são
\lambda^2+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm i.
]

Passo 3

Escolhemos \lambda=i e resolvemos (A - iI)v=0.
\begin{pmatrix}2-i & -5 \\[3pt]1 & -2-i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad (2-i)v_1 -5v_2=0 \quad\Rightarrow\quad v_1=\frac{5}{2-i}v_2 =\bigl(2+i\bigr)v_2.
Podemos tomar o autovetor
v = \begin{pmatrix}2+i\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Então uma solução complexa é
\mathbf{x}_c(t)=e^{it}\begin{pmatrix}2+i\\\ 1\end{pmatrix}.
]

Passo 4

Escrevemos e^{it}=(\cos t + i\sin t) e multiplicamos em cima de v, depois separamos parte real e imaginária:
\mathbf{x}_c(t) =(\cos t + i\sin t) \begin{pmatrix}2+i\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cos t -\sin t\\\ \cos t\end{pmatrix} +i\begin{pmatrix}2\sin t +\cos t\\\ \sin t\end{pmatrix}.
As duas colunas
\begin{pmatrix}2\cos t -\sin t\\\ \cos t\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}2\sin t +\cos t\\\ \sin t\end{pmatrix}
são soluções reais fundamentalmente independentes.

Passo 5

A solução geral real do sistema é combinação linear dessas duas soluções fundamentais.

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_{1}\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}2\sin t + \cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},
once C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.]

Exercícios relacionados