[1,5 \mathrm{pts}] Obtenha uma matriz fundamental de soluções do sistema \mathbf{x}^{\prime}\left(\begin{array}{cccc}-3 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\\ \sqrt{2} & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \mathbf{x}. Justifique sua resposta. Sugestão, use, os autovalores e autovetore da questão 1.

Passo 1

Resumindo, queremos resolver o sistema linear de EDOs
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix} -3 & \sqrt{2} & 0 & 0\\\ \sqrt{2} & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O método é encontrar quatro autovalores de A e seus autovetores correspondentes, montar assim uma matriz fundamental cujas colunas sejam v_i e^{\lambda_i t}.

Passo 2

Primeiro, achamos os autovalores do bloco 2\times2
\det\begin{pmatrix} -3-\lambda & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2-\lambda \end{pmatrix} =(-3-\lambda)(-2-\lambda)-2 =\lambda^2+5\lambda+4=0.
Daí
\lambda = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{-5\pm3}{2},
logo \lambda_1=-1 e \lambda_2=-4.

Passo 3

Para \lambda_1=-1, o sistema do bloco é
\begin{pmatrix} -3+1 & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\;-2v_1+\sqrt{2}v_2=0 \;\Longrightarrow\;v_2=\sqrt{2}\,v_1.
Tomando v_1=1, obtemos o autovetor
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\sqrt{2}\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2=-4, o sistema do bloco é
\begin{pmatrix} -3+4 & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2+4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\;w_1 + \sqrt{2}w_2=0 \;\Longrightarrow\;w_1=-\sqrt{2}\,w_2.
Tomando w_2=1, obtemos
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-\sqrt{2}\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Os dois últimos autovalores estão nos elementos diagonais isolados:
\lambda_3=-1 com autovetor
v^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
e \lambda_4=2 com autovetor
v^{(4)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Como temos quatro autovetores linearmente independentes, a matriz fundamental pode ser escolhida cujas colunas são v^{(i)}e^{\lambda_i t}. Assim,
\Phi(t)=\bigl[v^{(1)}e^{-t},\;v^{(2)}e^{-4t},\;v^{(3)}e^{-t},\;v^{(4)}e^{2t}\bigr] =\begin{pmatrix} e^{-t} & -\sqrt{2}e^{-4t} & 0 & 0\\\ \sqrt{2}e^{-t} & e^{-4t} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & e^{-t} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix}.

Resposta

\Phi(t)=\begin{pmatrix} e^{-t} & -\sqrt{2}e^{-4t} & 0 & 0\\\ \sqrt{2}e^{-t} & e^{-4t} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & e^{-t} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix}

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