[1,5 \mathrm{pts}] Obtenha uma matriz fundamental de soluções do sistema \mathbf{x}^{\prime}\left(\begin{array}{cccc}-3 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\\ \sqrt{2} & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \mathbf{x}. Justifique sua resposta. Sugestão, use, os autovalores e autovetore da questão 1. Passo 1Resumindo, queremos resolver o sistema linear de EDOs \mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}, onde A = \begin{pmatrix} -3 & \sqrt{2} & 0 & 0\\\ \sqrt{2} & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. O método é encontrar quatro autovalores de A e seus autovetores correspondentes, montar assim uma matriz fundamental cujas colunas sejam v_i e^{\lambda_i t}. Passo 2Primeiro, achamos os autovalores do bloco 2\times2 \det\begin{pmatrix} -3-\lambda & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2-\lambda \end{pmatrix} =(-3-\lambda)(-2-\lambda)-2 =\lambda^2+5\lambda+4=0. Daí \lambda = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{-5\pm3}{2}, logo \lambda_1=-1 e \lambda_2=-4. Passo 3Para \lambda_1=-1, o sistema do bloco é \begin{pmatrix} -3+1 & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\;-2v_1+\sqrt{2}v_2=0 \;\Longrightarrow\;v_2=\sqrt{2}\,v_1. Tomando v_1=1, obtemos o autovetor v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\sqrt{2}\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Passo 4Para \lambda_2=-4, o sistema do bloco é \begin{pmatrix} -3+4 & \sqrt{2}\\\ \sqrt{2} & -2+4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\;w_1 + \sqrt{2}w_2=0 \;\Longrightarrow\;w_1=-\sqrt{2}\,w_2. Tomando w_2=1, obtemos v^{(2)} = \begin{pmatrix}-\sqrt{2}\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Passo 5Os dois últimos autovalores estão nos elementos diagonais isolados: \lambda_3=-1 com autovetor v^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, e \lambda_4=2 com autovetor v^{(4)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Passo 6Como temos quatro autovetores linearmente independentes, a matriz fundamental pode ser escolhida cujas colunas são v^{(i)}e^{\lambda_i t}. Assim, \Phi(t)=\bigl[v^{(1)}e^{-t},\;v^{(2)}e^{-4t},\;v^{(3)}e^{-t},\;v^{(4)}e^{2t}\bigr] =\begin{pmatrix} e^{-t} & -\sqrt{2}e^{-4t} & 0 & 0\\\ \sqrt{2}e^{-t} & e^{-4t} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & e^{-t} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix}. Resposta \Phi(t)=\begin{pmatrix} e^{-t} & -\sqrt{2}e^{-4t} & 0 & 0\\\ \sqrt{2}e^{-t} & e^{-4t} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & e^{-t} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados [2,0 \mathrm{pts}] Obtenha a solução geral real para o sistema \mathbf{x}^{\prime}\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}. [1,5 \mathrm{pts}]\) É dado o sistema de PVI: \(\begin{cases}x_{1}^{\prime}=-3 x_{1}+\sqrt{2} x_{2}, & x_{1}(0)=1 \\\ x_{2}^{\prime}=\sqrt{2} x_{1}-2 x_{2}, & x_{2}(0)=2 .\end{cases} Sabendo (isto você não precisa calcular) que os autovalores e autovetores da matriz \left(\begin{array}{cc}-3 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & -2\end{array}\right) são respectivamente na mesma ordem \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-4 e \boldsymbol{\xi}^{1}=(1, \sqrt{2})^{T}, \boldsymbol{\xi}^{2}=(\sqrt{2},-1)^{T}. Calcule a solução x_{1}(t) e x_{2}(t) que satisfaçam o PVI dado. [1,0 pts] Transforme o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=2 .\end{array}\right. em um sistema de PVI de duas EDOs lineares de primeira ordem. [2,0 \mathrm{pts}] Obtenha a solução geral de \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-3 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & -2\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{0}{t}. Sugestão, use os autovalores e autovetores dados na Questão 1.