[1,0 pts] Transforme o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=2 .\end{array}\right. em um sistema de PVI de duas EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede para transformar o PVI de segunda ordem
y'' + y' - 2y = 0,\quad y(0) = -1,\;y'(0)=2
em um sistema equivalente de duas EDOs lineares de primeira ordem. O método envolve reduzir a ordem definindo variáveis de estado.

Passo 2

Defina
x_1 = y,\quad x_2 = y'.
Então
x_1' = y' = x_2,
e, da equação original y'' = -y' + 2y,
x_2' = -x_2 + 2x_1.

Passo 3

As condições iniciais passam a ser
x_1(0) = y(0) = -1,\quad x_2(0) = y'(0) = 2.

Resposta

\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = -x_2 + 2x_1,\\\ x_1(0) = -1,\;x_2(0) = 2. \end{cases}

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