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Mostre que
possui duas soluções para qualquer
.
(a)
Calcule
.
(b)
Decida se a função abaixo é contínua:
(a)
(b)
Passo 1
Estamos resolvendo três itens relacionados a funções contínuas, equações em R e limites: (i) mostrar que a equação
tem duas soluções para todo
, (ii) calcular o limite
e (iii) decidir se a função
dada é contínua.
Passo 2
Vamos definir a função
por
. Note que
é contínua em
, simétrica (pois depende de
) e satisfaz
. Além disso,
quando temos
, porque o grau 4 do numerador domina. Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
.
Devido à simetria e como
, as duas soluções são exatamente
.
quando
Devido à simetria
Passo 3
Para calcular
usamos a expansão de Taylor de
em torno de 0:
. Substituindo
obtemos
então
Passo 4
Para a continuidade de
verificamos: em cada ramo
é composição de funções contínuas, logo contínua em
e em .
Calculamos limite lateral direito:
. Do lado esquerdo:
. E
. Portanto,
é contínua em 0 e, assim, em todo
.
Resposta
Para todo
existem exatamente duas soluções
, o limite vale
e a função
é contínua em todo
.