1. [1,5 pt] Mostre que x^4+2|x|+7=c possui duas soluções para qualquer c>27.
    (a) [1,0 pt] Calcule lim x 0 1-cos (pi x)x^2.
    (b) [1,0 pt] Decida se a função abaixo é contínua:
h(x)= 1-cos (pi x)x^2, & x>0, (x-pi)^22, & x <= 0

Passo 1

Estamos resolvendo três itens relacionados a funções contínuas, equações em R e limites: (i) mostrar que a equação x^4+2|x|+7=c tem duas soluções para todo c>2/7, (ii) calcular o limite limxto01-cos(pi x)x^2 e (iii) decidir se a função h(x) dada é contínua.

Passo 2

Vamos definir a função f:RtoR por f(x)=x^4+2|x|+7. Note que f é contínua em R, simétrica (pois depende de |x|) e satisfaz f(0)=27. Além disso,
quando |x|to+infty temos f(x)to+infty, porque o grau 4 do numerador domina. Como c>2/7=f(0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0>0 tal que f(x0)=c.
Devido à simetria f(-x0)=f(x0)=c e como c>f(0), as duas soluções são exatamente x=pm x0.

Passo 3

Para calcular L=limxto01-cos(pi x)x^2 usamos a expansão de Taylor de cos t em torno de 0: cos t=1-tfract^22+o(t^2). Substituindo t=pi x obtemos
1-cos(pi x)=(pi x)^22+o(x^2),
então
L=limxto0pi^2x^22+o(x^2)x^2=pi^22

Passo 4

Para a continuidade de h(x)=1-cos(pi x)x^2,&x>0,(x-pi)^22,&x<=0, verificamos: em cada ramo h é composição de funções contínuas, logo contínua em (0,+infty) e em .
Calculamos limite lateral direito: ( -infty,0)] Fa. Do lado esquerdo: limxto0^+h(x)=pi^22. E limxto0^-h(x)=(0-pi)^22=pi^22. Portanto, h(0)=(0-pi)^22=pi^22 é contínua em 0 e, assim, em todo h.

Resposta

Para todo c>2/7 existem exatamente duas soluções x=pm x0,,x0>0, o limite vale pi^2/2 e a função h é contínua em todo R.

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