1. Considere a função f(x)=3 x(x^2-2)-2 x(x^2-1)(1-x^2)(x-2), para x neq pm 1 e x neq 2.
    (a) [1,0 pt ] Calcule lim x l^+ f(x) e lim x 1^- f(x).
    (b) [1,0 pt] Calcule lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x).
    (c) [1,0 pt] Calcule lim x +infty f(x) e lim f(x).
    (d) [1,0 pt] Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais de f, quando existirem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3xl(x^2-2r)-2xl(x^2-1r)l(1-x^2r),(x-2),
definida para xneq pm1 e xneq2, e pede limites laterais em x=1 e x=2, limites no infinito e as assíntotas verticais e horizontais. O conteúdo é álgebra de funções racionais e cálculo de limites, incluindo identificação de assíntotas.

Passo 2

Simplificamos o numerador:
3x(x^2-2)-2x(x^2-1)=3x^3-6x-2x^3+2x=x^3-4x=x,(x^2-4)=x,(x-2),(x+2)
O denominador é
(1-x^2)(x-2)=-(x^2-1)(x-2)=-(x-1)(x+1)(x-2)
Logo, para xneq2,
f(x) =x,(x-2),(x+2)-(x-1)(x+1)(x-2) =-x,(x+2)(x-1)(x+1)

Passo 3

Limites em xto1. Para x perto de 1: o numerador -x(x+2) tende a -3 e o fator (x+1) do denominador tende a 2>0. O sinal de (x-1) é positivo à direita e negativo à esquerda, logo
limxto1^+f(x) =limxto1^+l(-tfrac32(x-1)r)=-infty, limxto1^-f(x) =limxto1^-l(-tfrac32(x-1)r)=+infty

Passo 4

Limites em xto2. Após simplificar não há mais fator (x-2), de modo que
limxto2f(x) =-2,(2+2)(2-1)(2+1) =-83
Como não dependem do lado,
limxto2^+f(x)=limxto2^-f(x)=-tfrac83

Passo 5

Limites no infinito. Para xtopminfty,
f(x)=-x^2+2xx^2-1 longrightarrow -1
Logo
limxto+inftyf(x)=limxto-inftyf(x)=-1

Passo 6

Assíntotas:
  • Verticais onde ftopminfty, ou seja, em x=1 e x=-1.
  • Horizontal em y=-1, pois limxtopminftyf(x)=-1.

Resposta

(a) limxto1^+f(x)=-infty, limxto1^-f(x)=+infty.
(b) limxto2^+f(x)=limxto2^-f(x)=-tfrac83
(c) limxto+inftyf(x)=limxto-inftyf(x)=-1
(d) Assíntotas verticais: x=1 e x=-1. Assíntota horizontal: y=-1.

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