Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial
e a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas correspondam aos lados da equação. Então, temos:
A integral de
é
e a integral de
é
. Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
de forma a isolar a função. Para isso, vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
. Então, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que quando
,
. Substituindo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: