Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
d yd x=x y, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial dydx = x y e a condição inicial y(0) = 1. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. A equação original é:
dydx = x y
Vamos dividir ambos os lados por y :
1y dydx = x
Agora, podemos escrever:
dyy = x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas correspondam aos lados da equação. Então, temos:
integral 1y , dy = integral x , dx
A integral de 1y , dy é ln|y| e a integral de x , dx é x^22 . Assim, temos:
ln|y| = x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para y de forma a isolar a função. Para isso, vamos aplicar a exponenciação em ambos os lados para se livrar do logaritmo:
y = e^x^22 + C = e^C cdot e^x^22
Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de K . Então, a solução geral é:
y = K cdot e^x^22

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante K . Sabemos que quando x = 0 , y = 1 . Substituindo:
1 = K cdot e^0^22 Rightarrow 1 = K cdot e^0 Rightarrow 1 = K cdot 1 Rightarrow K = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = e^x^22

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