1. Seja p(x)=13 x^3-4 x+1.
    (a) [1,0 pt] Mostre que p possui uma raíz no intervalo (0,1).
    (b) [1,0 pt] Mostre que a raíz obtida no ítem (a) é a única raiz de p no intervalo (0,1).
    © [1,0 pt] Determine a equação da reta tangente a p no ponto onde x=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função p(x)=tfrac13x^3-4x+1 tem uma raiz em (0,1), que ela é única nesse intervalo e, por fim, determinar a reta tangente em x=1. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o estudo de monotonicidade via derivada.

Passo 2

Para (a), note que p é polinomial, logo contínua. Calculando nos extremos: p(0)=1>0 e p(1)=tfrac13-4+1=-tfrac83<0. Como os sinais são distintos, pelo TVI existe pelo menos uma raiz xi em (0,1).

Passo 3

Para (b), estudamos a derivada p'(x)=x^2-4. Em (0,1), tem-se x^2<1, logo p'(x)<1-4=-3<0. Isso mostra que p é estritamente decrescente em (0,1), e assim não pode cruzar o eixo mais de uma vez. A raiz em (0,1) é única.

Passo 4

Para ©, a reta tangente em x=1 tem coeficiente angular m=p'(1)=1^2-4=-3 e passa por (1,p(1))=(1,-tfrac83). A equação é dada por y-(-tfrac83)=m(x-1), ou seja:

Resposta

y=-3x+\tfrac13

Exercícios relacionados