- Seja
.
(a)
Mostre que
possui uma raíz no intervalo
.
(b)
Mostre que a raíz obtida no ítem (a) é a única raiz de
no intervalo
.
©
Determine a equação da reta tangente a
no ponto onde
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem uma raiz em
, que ela é única nesse intervalo e, por fim, determinar a reta tangente em
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o estudo de monotonicidade via derivada.
Passo 2
Para (a), note que
é polinomial, logo contínua. Calculando nos extremos:
e
. Como os sinais são distintos, pelo TVI existe pelo menos uma raiz
em
.
Passo 3
Para (b), estudamos a derivada
. Em
, tem-se
, logo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
, e assim não pode cruzar o eixo mais de uma vez. A raiz em
é única.
Passo 4
Para ©, a reta tangente em
tem coeficiente angular
e passa por
. A equação é dada por
, ou seja:
Resposta
y=-3x+\tfrac13