Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
ly^prime=x+5 y y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = x + 5y, y(0)=3,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o método do fator integrante, que serve sempre que temos uma EDO no formato
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão subtraindo 5y de ambos os lados:
y' - 5y = x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -5,dx = e^-5x
Multiplicando toda a equação por mu(x) obtemos
e^-5xy' - 5e^-5xy = x,e^-5x,
que é exatamente a derivada do produto y,e^-5x:
l(y,e^-5xr)' = x,e^-5x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito aparece
integral x,e^-5x,dx,
que resolvemos por partes: tome
u = x, dv = e^-5x,dxLongrightarrow du = dx,;v = -tfrac15,e^-5x
Logo
integral x,e^-5x,dx = -x5e^-5x - integrall(-tfrac15,e^-5xr),dx = -x5e^-5x - 125e^-5x + C

Passo 4

Voltando à expressão de y,e^-5x, temos
y,e^-5x = -x5e^-5x - 125e^-5x + C Longrightarrow y(x) = -x5 - 125 + C,e^5x
Para achar C usamos y(0)=3:
3 = y(0) = -0 - tfrac125 + C Longrightarrow C = 3 + 125 = 75+125 = 7625

Passo 5

Portanto a solução particular é
y(x) = 7625,e^5x ;-;x5;-;125
Como não há nenhuma singularidade (é combinação de exponencial e polinomial), essa solução existe e é única para todo xinR.

Resposta

y(x) = 7625,e^5x - x5 - 125, I = (-infty,infty)

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