Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = x + 5y, y(0)=3,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o método do fator integrante, que serve sempre que temos uma EDO no formato
y' + P(x),y = Q(x)
Passo 2
Primeiro colocamos a equação em forma padrão subtraindo 5y de ambos os lados:
y' - 5y = x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -5,dx = e^-5x
Multiplicando toda a equação por mu(x) obtemos
e^-5xy' - 5e^-5xy = x,e^-5x,
que é exatamente a derivada do produto y,e^-5x:
l(y,e^-5xr)' = x,e^-5x
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito aparece
integral x,e^-5x,dx,
que resolvemos por partes: tome
u = x, dv = e^-5x,dxLongrightarrow du = dx,;v = -tfrac15,e^-5x
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integral x,e^-5x,dx = -x5e^-5x - integrall(-tfrac15,e^-5xr),dx = -x5e^-5x - 125e^-5x + C