[1,0 ponto] 03. É sabido que a aceleração da gravidade na superfície terrestre é de aproximadamente g \approx 9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual deveria ser a altura a partir da superfície terrestre que você teria que subir para que o seu peso fosse reduzido pela metade?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir foi explicitado pelo enunciado ou é uma suposição padrão que vou usar sem perguntar):
  • Dado: a aceleração da gravidade na superfície terrestre é aproximadamente \,g \approx 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Pergunta: qual altura h acima da superfície da Terra é necessária para que o seu peso seja reduzido pela metade?
  • Informação adicional necessária (assumo o valor padrão): o raio médio da Terra é \,R = 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Observação útil: “peso” aqui significa a força gravitacional que age sobre o corpo; queremos que essa força passe a ser metade da força na superfície.

Passo 2

Conceito e fórmula-chave (uma mini-aula): a força gravitacional entre a Terra (massa M) e um corpo de massa m a uma distância r do centro da Terra é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F(r)=G\frac{M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, m é a massa do objeto e r é a distância entre os centros de massa (aqui, do centro da Terra ao objeto).
A aceleração gravitacional (o que normalmente chamamos de g) a essa distância é a força por unidade de massa:
g(r)=\frac{F(r)}{m}=G\frac{M}{r^{2}}.
Na superfície terrestre temos g(R)=G M / R^{2}, que é o valor dado \approx 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. O peso do objeto é W(r)=m\,g(r). Para reduzir o peso à metade precisamos que g(r) seja metade de g(R).

Passo 3

Escrevendo a condição matemática do problema: queremos g(R+h)=\dfrac{1}{2}\,g(R). Substituindo a expressão de g(r),
G\frac{M}{(R+h)^{2}}=\frac{1}{2}\,G\frac{M}{R^{2}}.
Aqui mencionei todas as variáveis: G (constante gravitacional), M (massa da Terra), R (raio da Terra), h (a altura que queremos achar). Note que G e M aparecem dos dois lados e portanto vão se cancelar.

Passo 4

Simplificação algébrica passo a passo:
\frac{1}{(R+h)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R^{2}}.
Invertendo ambos os lados (para ficar com os quadrados no numerador):
(R+h)^{2}=2\,R^{2}.
Tomando raiz positiva (pois R+h>0):
R+h=R\sqrt{2}.
Logo
h=R\bigl(\sqrt{2}-1\bigr).
Isto é bonito: o fator \sqrt{2}-1 (~0,4142) mostra que a altura necessária é uma fração do raio da Terra — não depende diretamente de G, M ou do valor numérico de g fornecido.

Passo 5

Cálculo numérico usando R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule \sqrt{2}-1:
\sqrt{2}-1\approx 1{,}41421356-1=0{,}41421356.
Agora multiplicando:
h=6{,}371\times10^{6}\times0{,}41421356\approx2{,}639\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
h\approx2{,}639\times10^{3}\\ \mathrm{km}\approx2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Interpretação e comentários práticos (um empurrãozinho motivacional): a altura encontrada é cerca de 2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km}, ou seja aproximadamente 2{,}640\\ \mathrm{km} acima da superfície. Isso é muito maior do que a altitude de aviões comerciais e maior que a maioria das órbitas baixas (LEO), então não é nada trivial “chegar lá” — envolve sair bem alto da atmosfera. Não se preocupe se a conta parecer longa: o raciocínio principal é sempre usar g(r)\propto1/r^{2} e montar a razão desejada; o resto é álgebra simples.

Resposta

h \approx 2{,}64\times10^{6}\\ \mathrm{m} \approx 2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km}

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