[1,0 ponto] 03. É sabido que a aceleração da gravidade na superfície terrestre é de aproximadamente
. Qual deveria ser a altura a partir da superfície terrestre que você teria que subir para que o seu peso fosse reduzido pela metade?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir foi explicitado pelo enunciado ou é uma suposição padrão que vou usar sem perguntar):
- Dado: a aceleração da gravidade na superfície terrestre é aproximadamente
. - Pergunta: qual altura
acima da superfície da Terra é necessária para que o seu peso seja reduzido pela metade? - Informação adicional necessária (assumo o valor padrão): o raio médio da Terra é
. - Observação útil: “peso” aqui significa a força gravitacional que age sobre o corpo; queremos que essa força passe a ser metade da força na superfície.
Passo 2
Conceito e fórmula-chave (uma mini-aula): a força gravitacional entre a Terra (massa
) e um corpo de massa
a uma distância
do centro da Terra é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra,
é a massa do objeto e
é a distância entre os centros de massa (aqui, do centro da Terra ao objeto).
A aceleração gravitacional (o que normalmente chamamos de ) a essa distância é a força por unidade de massa:
A aceleração gravitacional (o que normalmente chamamos de
Na superfície terrestre temos
, que é o valor dado
. O peso do objeto é
. Para reduzir o peso à metade precisamos que
seja metade de
.
Passo 3
Escrevendo a condição matemática do problema: queremos
. Substituindo a expressão de
,
Aqui mencionei todas as variáveis:
(constante gravitacional),
(massa da Terra),
(raio da Terra),
(a altura que queremos achar). Note que
e
aparecem dos dois lados e portanto vão se cancelar.
Passo 4
Simplificação algébrica passo a passo:
Invertendo ambos os lados (para ficar com os quadrados no numerador):
Tomando raiz positiva (pois
):
Logo
Isto é bonito: o fator
(~0,4142) mostra que a altura necessária é uma fração do raio da Terra — não depende diretamente de
,
ou do valor numérico de
fornecido.
Passo 5
Cálculo numérico usando
. Primeiro calcule
:
Agora multiplicando:
Convertendo para quilômetros:
Passo 6
Interpretação e comentários práticos (um empurrãozinho motivacional): a altura encontrada é cerca de
, ou seja aproximadamente
acima da superfície. Isso é muito maior do que a altitude de aviões comerciais e maior que a maioria das órbitas baixas (LEO), então não é nada trivial “chegar lá” — envolve sair bem alto da atmosfera. Não se preocupe se a conta parecer longa: o raciocínio principal é sempre usar
e montar a razão desejada; o resto é álgebra simples.