1. [1,0 ponto]. Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que:
    I. 50 \% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em
Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:
а) 58 \%;
b) 56 \%;
c) 54 \%;
d) 52 \%;
e) 48 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informações fornecidas (todas retiradas do enunciado):
    • 50\% dos Auditores são formados em Administração. Vou chamar esse conjunto de A, então P(A)=50\%.
    • 60\% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis. Chamo esse conjunto de C, então P\text{(C)}=60\%.
    • 48\% dos Auditores são formados em Economia. Chamo esse conjunto de E, então P(E)=48\%.
    • 20\% são formados em Administração e Ciências Contábeis, isto é P(A\cap C)=20\%.
    • 10\% são formados em Administração e Economia, isto é P(A\cap E)=10\%.
    • 30\% são formados em Ciências Contábeis e Economia, isto é P(C\cap E)=30\%.
    • Todos os Auditores são formados em pelo menos um dos três cursos, portanto P(A\cup C\cup E)=100\%.
  • O que o enunciado pede:
    • A probabilidade de um Auditor, escolhido aleatoriamente, ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados (ou seja, em 2 ou em 3 cursos).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para três eventos A, C, E, a fórmula de inclusão-exclusão para a probabilidade da união é
P(A\cup C\cup E)=P(A)+P\text{(C)}+P(E)-P(A\cap C)-P(A\cap E)-P(C\cap E)+P(A\cap C\cap E).
Expliquei cada termo:
  • P(A)+P\text{(C)}+P(E) soma as probabilidades individuais.
  • Subtrai-se as interseções em pares porque foram somadas duas vezes.
  • Acrescenta-se a interseção triple P(A\cap C\cap E) porque ao subtrair as interseções em pares ela foi subtraída três vezes a mais; a fórmula corrige essa contagem.
  • Para obter a probabilidade de “pelo menos dois cursos”, convém distinguir:
    • Probabilidade de exatamente dois cursos = soma das probabilidades das interseções em pares, mas retirando a parte que é conjunta aos três (porque as interseções em pares incluem quem fez os três).
    • Se t=P(A\cap C\cap E), então
P(\text{exatamente dois})=[P(A\cap C)-t]+[P(A\cap E)-t]+[P(C\cap E)-t],
porque de cada interseção em pares precisamos tirar quem pertence também ao terceiro curso.
  • Logo
P(\text{pelo menos dois})=P(\text{exatamente dois})+t=(P(A\cap C)+P(A\cap E)+P(C\cap E)) - 2t.
Este último passo pode ser entendido somando os três pares (cada um contém os triplo) e corrigindo a contagem do triplo.

Passo 3

Usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar t=P(A\cap C\cap E), pois é um dado que falta.
Aplicando a fórmula da união e lembrando que P(A\cup C\cup E)=100\%:
100\% = P(A)+P\text{(C)}+P(E)-P(A\cap C)-P(A\cap E)-P(C\cap E)+t.
Substituindo os números (todos dados no enunciado):
100\% = 50\% + 60\% + 48\% - 20\% - 10\% - 30\% + t.

Passo 4

Calcular t passo a passo.
  • Soma das probabilidades individuais:
50\% + 60\% + 48\% = 158\%.
  • Soma das interseções em pares:
20\% + 10\% + 30\% = 60\%.
  • Substituindo:
100\% = 158\% - 60\% + t.
Logo
t = 100\% - (158\% - 60\%) = 100\% - 98\% = 2\%.
Portanto P(A\cap C\cap E)=2\%.

Passo 5

Agora usamos a fórmula para “pelo menos dois” que deduzimos:
P(\text{pelo menos dois}) = (P(A\cap C)+P(A\cap E)+P(C\cap E)) - 2t.
Já temos P(A\cap C)+P(A\cap E)+P(C\cap E)=60\% e t=2\%. Substituindo:
P(\text{pelo menos dois}) = 60\% - 2\cdot 2\% = 60\% - 4\% = 56\%.

Passo 6

Checagem rápida de coerência (sanity check):
  • O valor de t=2\% é pequeno e não negativo — faz sentido.
  • A probabilidade de pelo menos dois cursos =56\% está entre 0\% e 100\% e é compatível com as interseções em pares dadas (que somam 60\%, mas parte desse 60\% corresponde a quem fez os três cursos, então o valor final deve ser menor que 60\%). Tudo coerente.

Passo 7

Interpretação final e escolha da alternativa: entre as opções dadas a probabilidade calculada 56\% corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 56\%

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