- [1,0 ponto]. Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que:
I.
dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em
Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:
а)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
I.
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
а)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Informações fornecidas (todas retiradas do enunciado):
-
dos Auditores são formados em Administração. Vou chamar esse conjunto de , então . -
dos Auditores são formados em Ciências Contábeis. Chamo esse conjunto de , então . -
dos Auditores são formados em Economia. Chamo esse conjunto de , então . -
são formados em Administração e Ciências Contábeis, isto é . -
são formados em Administração e Economia, isto é . -
são formados em Ciências Contábeis e Economia, isto é . - Todos os Auditores são formados em pelo menos um dos três cursos, portanto
.
-
-
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de um Auditor, escolhido aleatoriamente, ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados (ou seja, em 2 ou em 3 cursos).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Para três eventos
, , , a fórmula de inclusão-exclusão para a probabilidade da união é
Expliquei cada termo:
-
soma as probabilidades individuais. -
Subtrai-se as interseções em pares porque foram somadas duas vezes.
-
Acrescenta-se a interseção triple
porque ao subtrair as interseções em pares ela foi subtraída três vezes a mais; a fórmula corrige essa contagem. -
Para obter a probabilidade de “pelo menos dois cursos”, convém distinguir:
- Probabilidade de exatamente dois cursos = soma das probabilidades das interseções em pares, mas retirando a parte que é conjunta aos três (porque as interseções em pares incluem quem fez os três).
- Se
, então
porque de cada interseção em pares precisamos tirar quem pertence também ao terceiro curso.
- Logo
Este último passo pode ser entendido somando os três pares (cada um contém os triplo) e corrigindo a contagem do triplo.
Passo 3
Usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar
, pois é um dado que falta.
Aplicando a fórmula da união e lembrando que
:
Substituindo os números (todos dados no enunciado):
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Soma das probabilidades individuais:
- Soma das interseções em pares:
- Substituindo:
Logo
Portanto
.
Passo 5
Agora usamos a fórmula para “pelo menos dois” que deduzimos:
Já temos
e
. Substituindo:
Passo 6
Checagem rápida de coerência (sanity check):
- O valor de
é pequeno e não negativo — faz sentido. - A probabilidade de pelo menos dois cursos
está entre e e é compatível com as interseções em pares dadas (que somam , mas parte desse corresponde a quem fez os três cursos, então o valor final deve ser menor que ). Tudo coerente.
Passo 7
Interpretação final e escolha da alternativa: entre as opções dadas a probabilidade calculada
corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)