1. [1,0 ponto]. Determine o número de permutações caóticas ele (1,2,3,4,5,6,7, 8,9,10) nas quais os números 1,2,3,4,5 ocupam, em alguma ordem, os cinco primeiros lugares.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos os dez números \,1,2,\dots,10\, e queremos permutá‑los (isto é, ordenar todos os dez em uma sequência).
  • A condição é que os cinco primeiros lugares da permutação sejam ocupados, em alguma ordem, exatamente pelos números \,1,2,3,4,5.
  • A pergunta: quantas permutações de \,1,2,\dots,10\, satisfazem essa condição?

Passo 2

Entendendo como contar as opções para os cinco primeiros lugares.
  • Os cinco primeiros lugares devem conter os cinco números \,1,2,3,4,5, mas podem aparecer em qualquer ordem.
  • O número de maneiras de ordenar k objetos distintos é dado por k! (fatorial de k), que significa multiplicar todos os inteiros de 1 até k.
  • Portanto, o número de maneiras de arranjar \,1,2,3,4,5\, nos cinco primeiros lugares é
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 3

Contando as opções para os cinco últimos lugares.
  • Depois de colocar \,1,2,3,4,5\, nos cinco primeiros lugares, sobram exatamente os números \,6,7,8,9,10\,.
  • Esses cinco números restantes podem ser colocados nos cinco lugares finais em qualquer ordem.
  • Pelo mesmo raciocínio do fatorial, o número de ordens possíveis para esses cinco é
5! = 120.

Passo 4

Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto) e calculando o total.
  • As escolhas para os cinco primeiros lugares e para os cinco últimos são independentes: para cada ordenação dos primeiros cinco há todas as ordenações possíveis dos últimos cinco.
  • Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações que satisfazem a condição é
5!\times5! = (5!)^2.
  • Calculando numericamente:
(5!)^2 = 120 \times 120 = 14400.

Resposta

14400

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