- [1,0 ponto]. Determine o número de permutações caóticas ele (1,2,3,4,5,6,7, 8,9,10) nas quais os números 1,2,3,4,5 ocupam, em alguma ordem, os cinco primeiros lugares.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Temos os dez números
e queremos permutá‑los (isto é, ordenar todos os dez em uma sequência). - A condição é que os cinco primeiros lugares da permutação sejam ocupados, em alguma ordem, exatamente pelos números
. - A pergunta: quantas permutações de
satisfazem essa condição?
Passo 2
Entendendo como contar as opções para os cinco primeiros lugares.
- Os cinco primeiros lugares devem conter os cinco números
, mas podem aparecer em qualquer ordem. - O número de maneiras de ordenar
objetos distintos é dado por (fatorial de ), que significa multiplicar todos os inteiros de até . - Portanto, o número de maneiras de arranjar
nos cinco primeiros lugares é
Passo 3
Contando as opções para os cinco últimos lugares.
- Depois de colocar
nos cinco primeiros lugares, sobram exatamente os números . - Esses cinco números restantes podem ser colocados nos cinco lugares finais em qualquer ordem.
- Pelo mesmo raciocínio do fatorial, o número de ordens possíveis para esses cinco é
Passo 4
Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto) e calculando o total.
- As escolhas para os cinco primeiros lugares e para os cinco últimos são independentes: para cada ordenação dos primeiros cinco há todas as ordenações possíveis dos últimos cinco.
- Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações que satisfazem a condição é
- Calculando numericamente: