Très cart as sỉo retiradas ao acaso e sem reposiçāo de um baralho regular de 52 cartas. Calcule a probabilidade de que:
(a) (1 pt.) saiam très cartas de naipe vermelho.
(a) (1 pt.) saiam très cartas de naipe vermelho.
Passo 1
O enunciado diz que são retiradas ao acaso e sem reposição três cartas de um baralho regular de
cartas. A pergunta é: qual a probabilidade de que as três cartas sejam de naipe vermelho?
Informações relevantes dadas (e conhecimento padrão do baralho):
- Há
cartas no baralho. - Existem dois naipes vermelhos (copas e ouros), totalizando
cartas vermelhas. - As cartas são retiradas sem reposição (evento do segundo e terceiro sorteio é afetado pelos anteriores).
- Queremos a probabilidade de que as três cartas retiradas sejam todas vermelhas.
Passo 2
Vamos modelar o espaço amostral como todas as escolhas possíveis de
cartas dentre as
, considerando que a ordem em que saem não importa (porque só nos interessa o conjunto de três cartas). O número de maneiras iguais de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa é dado pelo coeficiente binomial
, definido por
Aqui o total de maneiras possíveis é
Expliquei o que é
porque é a forma padrão de contar subconjuntos sem considerar ordem — isso é usado muito em problemas de cartas.
Passo 3
Agora contamos as maneiras favoráveis: escolher
cartas entre as
vermelhas. Como também não nos importamos com a ordem entre essas três, o número de maneiras favoráveis é
A razão dessa escolha é simples: para obter três cartas vermelhas basta escolher um subconjunto de
cartas dentro do conjunto das
vermelhas.
Passo 4
A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos igualmente prováveis:
Passo 5
Vamos calcular
passo a passo:
Calculemos:
, então
. Dividindo por
obtemos
Passo 6
Agora
:
Calculemos:
,
. Dividindo por
obtemos
Passo 7
Substituindo os valores na razão:
Simplificando: primeiro dividir por
dá
. Como
e
, dividindo numerador e denominador por
resulta
Em forma decimal aproximada isso é
ou seja cerca de
.
Passo 8
Como verificação alternativa (método multiplicativo passo a passo): calcular a probabilidade condicional sequencialmente sem usar combinações.
- Probabilidade da primeira carta ser vermelha:
. - Dado que a primeira foi vermelha, sobraram
vermelhas em cartas: probabilidade da segunda ser vermelha é . - Dado que as duas primeiras foram vermelhas, sobraram
vermelhas em cartas: probabilidade da terceira ser vermelha é .
Multiplicando:
Fazendo as simplificações (por exemplo
etc.) chega-se novamente ao valor
, confirmando o resultado combinatorial.