Très cart as sỉo retiradas ao acaso e sem reposiçāo de um baralho regular de 52 cartas. Calcule a probabilidade de que:
(a) (1 pt.) saiam très cartas de naipe vermelho.

Passo 1

O enunciado diz que são retiradas ao acaso e sem reposição três cartas de um baralho regular de 52 cartas. A pergunta é: qual a probabilidade de que as três cartas sejam de naipe vermelho?
Informações relevantes dadas (e conhecimento padrão do baralho):
  • \,52 cartas no baralho.
  • Existem dois naipes vermelhos (copas e ouros), totalizando \,26 cartas vermelhas.
  • As cartas são retiradas sem reposição (evento do segundo e terceiro sorteio é afetado pelos anteriores).
  • Queremos a probabilidade de que as três cartas retiradas sejam todas vermelhas.

Passo 2

Vamos modelar o espaço amostral como todas as escolhas possíveis de 3 cartas dentre as 52, considerando que a ordem em que saem não importa (porque só nos interessa o conjunto de três cartas). O número de maneiras iguais de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa é dado pelo coeficiente binomial \binom{n}{k}, definido por
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui o total de maneiras possíveis é
\binom{52}{3}.
Expliquei o que é \binom{n}{k} porque é a forma padrão de contar subconjuntos sem considerar ordem — isso é usado muito em problemas de cartas.

Passo 3

Agora contamos as maneiras favoráveis: escolher 3 cartas entre as 26 vermelhas. Como também não nos importamos com a ordem entre essas três, o número de maneiras favoráveis é
\binom{26}{3}.
A razão dessa escolha é simples: para obter três cartas vermelhas basta escolher um subconjunto de 3 cartas dentro do conjunto das 26 vermelhas.

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos igualmente prováveis:
P(\text{3 cartas vermelhas})=\frac{\binom{26}{3}}{\binom{52}{3}}.

Passo 5

Vamos calcular \binom{26}{3} passo a passo:
\binom{26}{3}=\frac{26\cdot25\cdot24}{3!}=\frac{26\cdot25\cdot24}{6}.
Calculemos: 25\cdot24=600, então 26\cdot600=15600. Dividindo por 6 obtemos
\binom{26}{3}=2600.

Passo 6

Agora \binom{52}{3}:
\binom{52}{3}=\frac{52\cdot51\cdot50}{3!}=\frac{52\cdot51\cdot50}{6}.
Calculemos: 52\cdot51=2652, 2652\cdot50=132600. Dividindo por 6 obtemos
\binom{52}{3}=22100.

Passo 7

Substituindo os valores na razão:
P=\frac{2600}{22100}.
Simplificando: primeiro dividir por 100 \dfrac{26}{221}. Como 26=2\cdot13 e 221=13\cdot17, dividindo numerador e denominador por 13 resulta
P=\frac{2}{17}.
Em forma decimal aproximada isso é
\frac{2}{17}\approx0,117647\ldots
ou seja cerca de 11{,}76\%.

Passo 8

Como verificação alternativa (método multiplicativo passo a passo): calcular a probabilidade condicional sequencialmente sem usar combinações.
  • Probabilidade da primeira carta ser vermelha: \dfrac{26}{52}.
  • Dado que a primeira foi vermelha, sobraram 25 vermelhas em 51 cartas: probabilidade da segunda ser vermelha é \dfrac{25}{51}.
  • Dado que as duas primeiras foram vermelhas, sobraram 24 vermelhas em 50 cartas: probabilidade da terceira ser vermelha é \dfrac{24}{50}.
Multiplicando:
P=\frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}\cdot\frac{24}{50}.
Fazendo as simplificações (por exemplo \dfrac{26}{52}=\dfrac{1}{2} etc.) chega-se novamente ao valor \dfrac{2}{17}, confirmando o resultado combinatorial.

Resposta

\dfrac{2}{17}\approx0,117647

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