(2 pts.) Um dado tendencioso é tal que a chance de sair uma dada face é proporcional ao seu próprio número. Tal dado é lançado. Qual é a probabilidade condicional de ocorrer um número impar, dado que ocorreu um número menor ou igual 2? (Dica: Para se inspirar na construçāo da medida de probabilidade, que nāo será a Proposta Clássica, revise o exercicio das fibras, que foi feito na primeira parte do curso.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Informações dadas:
    • O espaço amostral são as faces do dado: \{1,2,3,4,5,6\}.
    • A chance de sair a face i é proporcional ao próprio número i. Ou seja, existe uma constante k>0 tal que a probabilidade de cada face é P(i)=k\cdot i para i=1,2,\dots,6.
  • O que o enunciado pede:
    • A probabilidade condicional de ocorrer um número ímpar, dado que ocorreu um número menor ou igual a 2.
    • Em linguagem de eventos: se A é o evento “sair número ímpar” e B é o evento "sair número \le 2", devemos calcular P(A\mid B).

Passo 2

Construir a medida de probabilidade (normalizar as probabilidades proporcionais).
Explicação do conceito usado: quando dizemos que as probabilidades são proporcionais a i, significa que existem valores P(1),P(2),\dots,P(6) com a relação P(i)=k\cdot i. Como as probabilidades de todas as faces somam 1, usamos a condição de normalização para encontrar k:
\sum_{i=1}^{6} P(i)=1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{i=1}^{6} k\cdot i = 1.
Calcule a soma dos números de 1 a 6:
\sum_{i=1}^{6} i = 1+2+3+4+5+6 = 21.
Então a igualdade fica
k\cdot 21 = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{21}.

Passo 3

Escrever as probabilidades de cada face usando k=\dfrac{1}{21}.
Assim, para cada i\in\{1,\dots,6\},
P(i)=\frac{i}{21}.
Exemplos:
P(1)=\frac{1}{21},\qquad P(2)=\frac{2}{21},\qquad P(3)=\frac{3}{21},\\ \text{etc.}

Passo 4

Identificar os eventos A e B em termos das faces e calcular P(B).
  • Evento A (número ímpar) é A=\{1,3,5\}.
  • Evento B (número \le 2) é B=\{1,2\}.
A probabilidade de B é a soma das probabilidades de 1 e 2:
P(B)=P(1)+P(2)=\frac{1}{21}+\frac{2}{21}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}.

Passo 5

Calcular P(A\cap B).
O evento A\cap B corresponde aos resultados que são ímpares e \le 2. Isso é apenas a face 1, então
P(A\cap B)=P(1)=\frac{1}{21}.

Passo 6

Aplicar a definição de probabilidade condicional e calcular P(A\mid B).
Fórmula (explicando): a probabilidade condicional de A dado B é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui P(B)=\dfrac{1}{7}>0, então podemos aplicar.
Substituindo os valores:
P(A\mid B)=\frac{\dfrac{1}{21}}{\dfrac{1}{7}}=\frac{1}{21}\cdot\frac{7}{1}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação e checagem intuitiva.
Intuitivamente, sabendo que saiu 1 ou 2, as probabilidades relativas dessas duas faces são 1 e 2 (porque pesos proporcionais aos números). Então a probabilidade de ser 1 é 1/(1+2)=1/3, que coincide com o resultado. Isso confirma que o cálculo está consistente.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados