(2 pts.) Um dado tendencioso é tal que a chance de sair uma dada face é proporcional ao seu próprio número. Tal dado é lançado. Qual é a probabilidade condicional de ocorrer um número impar, dado que ocorreu um número menor ou igual 2? (Dica: Para se inspirar na construçāo da medida de probabilidade, que nāo será a Proposta Clássica, revise o exercicio das fibras, que foi feito na primeira parte do curso.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Informações dadas:
- O espaço amostral são as faces do dado:
. - A chance de sair a face
é proporcional ao próprio número . Ou seja, existe uma constante tal que a probabilidade de cada face é para .
- O espaço amostral são as faces do dado:
-
O que o enunciado pede:
- A probabilidade condicional de ocorrer um número ímpar, dado que ocorreu um número menor ou igual a 2.
- Em linguagem de eventos: se
é o evento “sair número ímpar” e é o evento "sair número ", devemos calcular .
Passo 2
Construir a medida de probabilidade (normalizar as probabilidades proporcionais).
Explicação do conceito usado: quando dizemos que as probabilidades são proporcionais a
, significa que existem valores
com a relação
. Como as probabilidades de todas as faces somam
, usamos a condição de normalização para encontrar
:
Calcule a soma dos números de
a
:
Então a igualdade fica
Passo 3
Escrever as probabilidades de cada face usando
.
Assim, para cada
,
Exemplos:
Passo 4
Identificar os eventos
e
em termos das faces e calcular
.
- Evento
(número ímpar) é . - Evento
(número ) é .
A probabilidade de
é a soma das probabilidades de
e
:
Passo 5
Calcular
.
O evento
corresponde aos resultados que são ímpares e
. Isso é apenas a face
, então
Passo 6
Aplicar a definição de probabilidade condicional e calcular
.
Fórmula (explicando): a probabilidade condicional de
dado
é
desde que
. Aqui
, então podemos aplicar.
Substituindo os valores:
Passo 7
Interpretação e checagem intuitiva.
Intuitivamente, sabendo que saiu
ou
, as probabilidades relativas dessas duas faces são
e
(porque pesos proporcionais aos números). Então a probabilidade de ser
é
, que coincide com o resultado. Isso confirma que o cálculo está consistente.