[1,0 ponto] Uma empresa de telecomunicaçōes está analisando o tempo entre falhas de um novo tipo de roteador. O tempo entre falhas (em horas) é modelado como uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=0,02.
(a) Qual é a probabilidade de que o tempo entre falhas seja menor que 30 horas?
(b) Se um roteador já está em operação por 40 horas sem falhar, qual é a probabilidade de que ele funcione por mais 20 horas sem falhar?
\begin{array}{r} f(x ; \lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \\ F(x ; \lambda)=1-e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \end{array}

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X que representa o tempo entre falhas (em horas) de um roteador, com distribuição exponencial de parâmetro \lambda = 0,02. Temos a função densidade
f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0
e a função de distribuição acumulada
F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge0.
Para (a) vamos usar diretamente a CDF; para (b) vamos usar a propriedade de falta de memória da exponencial.

Passo 2

Calculando a probabilidade de o tempo entre falhas ser menor que 30 horas, ou seja,
P(X<30)=F(30;\lambda)=1-e^{-\lambda\cdot 30}.
Substituindo \lambda=0,02:
P(X<30)=1-e^{-0,02\cdot30}=1-e^{-0,6}\approx1-0,5488=0,4512.

Passo 3

Para (b), queremos
P(X>40+20\mid X>40)=P(X>60\mid X>40).
Pela propriedade de falta de memória da exponencial, temos
P(X>60\mid X>40)=P(X>20)=e^{-\lambda\cdot20}.
Substituindo \lambda=0,02:
P(X>20)=e^{-0,02\cdot20}=e^{-0,4}\approx0,6703.

Resposta

(a) P(X<30)=1-e^{-0,6}\approx0,4512
(b) P(X>40+20\mid X>40)=e^{-0,4}\approx0,6703

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