Q. 3 (40 pontos) Resolver o PVI a seguir usando transformadas de Laplace
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=2 u_{10}(t)+6 \delta(t-10) \\\ y(0)=3 \\\ y^{\prime}(0)=-8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o PVI
\begin{cases} y''+4y=2\,u_{10}(t)+6\,\delta(t-10),\\\ y(0)=3,\quad y'(0)=-8, \end{cases}
onde u_{10}(t) é o degrau de Heaviside em t=10 e \delta(t-10) é a delta de Dirac deslocada. Vamos usar as propriedades de transformada de Laplace, em particular
  1. \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
  2. \mathcal{L}\{u_{10}(t)f(t-10)\}=e^{-10s}F(s),
  3. \mathcal{L}\{\delta(t-10)\}=e^{-10s}.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de y''+4y=2u_{10}(t)+6\delta(t-10) e usando as condições iniciais:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\} =\bigl(s^2Y(s)-s\cdot3-(-8)\bigr)+4Y(s),
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(s^2+4)\,Y(s)-3s+8 =2\,\frac{e^{-10s}}{s}+6\,e^{-10s}.
Isolando Y(s) obtemos
Y(s) =\frac{3s-8}{s^2+4} +\frac{2\,e^{-10s}}{s(s^2+4)} +\frac{6\,e^{-10s}}{s^2+4}.

Passo 3

Decompondo a parte sem atraso:
\frac{3s-8}{s^2+4} =3\;\frac{s}{s^2+4}-8\;\frac{1}{s^2+4}.
Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos(2t) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t), resulta
y_1(t)=3\cos(2t)-4\sin(2t).

Passo 4

Agora a parte com 2/(s(s^2+4)). Fazemos frações parciais:
\frac{2}{s(s^2+4)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac12,\;B=-\tfrac12,\;C=0.
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\frac{2}{s(s^2+4)} =\frac{1}{2s}-\frac{s}{2(s^2+4)},
e
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s(s^2+4)}\Bigr\} =\frac12-\frac12\cos(2t) =\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Pela propriedade do deslocamento, o segundo termo de Y(s) gera
y_2(t) =u_{10}(t)\,\frac{1-\cos\bigl(2(t-10)\bigr)}{2}.

Passo 5

O terceiro termo é
\frac{6\,e^{-10s}}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad y_3(t) =6\,u_{10}(t)\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}\bigl|_{t-10} =6\,u_{10}(t)\,\frac{1}{2}\sin\bigl(2(t-10)\bigr) =3\,u_{10}(t)\,\sin\bigl(2(t-10)\bigr).

Passo 6

Somando as três partes temos a solução completa:
y(t) =y_1(t)+y_2(t)+y_3(t) =3\cos(2t)-4\sin(2t) +u_{10}(t)\Bigl[\tfrac{1-\cos\bigl(2(t-10)\bigr)}{2}+3\sin\bigl(2(t-10)\bigr)\Bigr].

Resposta

\boxed{ y(t) =3\cos(2t)-4\sin(2t) +u_{10}(t)\Bigl[\frac{1-\cos\bigl(2(t-10)\bigr)}{2} +3\sin\bigl(2(t-10)\bigr)\Bigr] }.

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