Determine uma antiderivada da função:
(2.0 ponto)
f(x)=x\left(1+x^{3}\right)-\frac{3}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma antiderivada de
f(x)=x\bigl(1+x^{3}\bigr)-\frac{3}{1+x^{2}}.
O conteúdo envolve integração de soma de funções, aplicação da regra de potência para polinômios e da primitiva de \frac{1}{1+x^2}.

Passo 2

Primeiro, separamos os termos para integrar mais facilmente. Observamos que
f(x)=x(1+x^3)-\frac{3}{1+x^2} = x + x^4 \;-\;\frac{3}{1+x^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para os dois primeiros termos. Lembrando que
\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
temos
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}.

Passo 4

Para o último termo usamos que
\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C.
Como há fator -3, pela regra do fator constante:
\int -\frac{3}{1+x^2}\,dx = -3\arctan x.

Passo 5

Somando todas as primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
F(x)=\frac{x^2}{2} + \frac{x^5}{5} - 3\arctan x + C.

Resposta

Uma antiderivada de f(x) é
F(x)=\frac{x^2}{2} + \frac{x^5}{5} - 3\arctan x + C.

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