Nas mesmas condições do Exercício 1, suponhamos ainda que
, isto é,
é conservativo e
é um potencial para
. Diremos que
é uma função energia potencial para
.
Se a única força resultante do movimento da partícula é dada pelo campo
, mostre que, para todo
, temos a identidade
em que
, denota a energia cinética da partícula no instante
. Ou seja, a soma da energia potencial com a cinética permanece constante durante o movimento.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma partícula de massa
movendo-se segundo uma trajetória
sob a única força
,
ou seja, é conservativa com potencial
. Definimos a energia cinética como
ou seja,
Queremos mostrar que
é constante em
.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton, a resultante é
Vamos então tomar produto escalar de ambos os lados com
.
Passo 3
Fazendo o produto escalar, obtemos
Pelo lado esquerdo, reconhecemos pela regra da cadeia que
Pelo lado direito, a regra da cadeia dá
Logo
Passo 4
Reescrevendo,
Isto mostra que a soma
tem derivada nula, ou seja, é constante ao longo do movimento.
Passo 5
Integrando de
até
, conclui-se
o que é exatamente a conservação da energia mecânica.
Resposta
para todo
.