Nas mesmas condições do Exercício 1, suponhamos ainda que \vec{F}=-\nabla E_{p}, isto é, \vec{F} é conservativo e -E_{p}: \Omega \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é um potencial para \vec{F}. Diremos que E_{p} é uma função energia potencial para \vec{F}.
Se a única força resultante do movimento da partícula é dada pelo campo \vec{F}, mostre que, para todo t \in[a, b], temos a identidade
E_{p}(\gamma(t))+E_{c}(t)=E_{p}(\gamma(a))+E_{c}(a),
em que E_{c}(t)=\frac{1}{2} m v(t)^{2}, denota a energia cinética da partícula no instante t. Ou seja, a soma da energia potencial com a cinética permanece constante durante o movimento.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma partícula de massa m movendo-se segundo uma trajetória \gamma\colon[a,b]\to\Omega\subset\mathbb{R}^3 sob a única força \vec{F}=-\nabla E_{p},
ou seja, \vec{F} é conservativa com potencial -E_{p}. Definimos a energia cinética como
E_{c}(t)=\tfrac{1}{2}m\|\gamma'(t)\|^{2}.
Queremos mostrar que
E_{p}(\gamma(t))+E_{c}(t)
é constante em t.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton, a resultante é
m\,\gamma''(t)=\vec{F}(\gamma(t))=-\nabla E_{p}(\gamma(t)).
Vamos então tomar produto escalar de ambos os lados com \gamma'(t).

Passo 3

Fazendo o produto escalar, obtemos
m\,\gamma''(t)\cdot\gamma'(t) =-\nabla E_{p}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).
Pelo lado esquerdo, reconhecemos pela regra da cadeia que
m\,\gamma''(t)\cdot\gamma'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12m\|\gamma'(t)\|^{2}\Bigr) =\frac{d}{dt}E_{c}(t).
Pelo lado direito, a regra da cadeia dá
\nabla E_{p}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(E_{p}(\gamma(t))\bigr).
Logo
\frac{d}{dt}E_{c}(t) =-\frac{d}{dt}\bigl(E_{p}(\gamma(t))\bigr).

Passo 4

Reescrevendo,
\frac{d}{dt}\Bigl(E_{c}(t)+E_{p}(\gamma(t))\Bigr)=0.
Isto mostra que a soma E_{c}(t)+E_{p}(\gamma(t)) tem derivada nula, ou seja, é constante ao longo do movimento.

Passo 5

Integrando de a até t, conclui-se
E_{c}(t)+E_{p}(\gamma(t)) =E_{c}(a)+E_{p}(\gamma(a)),
o que é exatamente a conservação da energia mecânica.

Resposta

E_{p}(\gamma(t))+E_{c}(t)=E_{p}(\gamma(a))+E_{c}(a),
para todo t\in[a,b].

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