) Encontre uma equação para elipse com focos e vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre elipses! O enunciado nos dá os dois focos da elipse, que são os pontos F1 = (0, -2) e F2 = (0, 2) , e também os vértices, que são (0, -3) e (0, 3) . Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades básicas de uma elipse, como a distância entre os focos e a relação entre os eixos maior e menor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos são (0, -2) e (0, 2) , o centro fica justamente no meio deles, que é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos determinar o comprimento do eixo maior. Os vértices estão em (0, -3) e (0, 3) , então o eixo maior tem comprimento de 6 unidades (de -3 a 3). Isso significa que o semi-eixo maior a é 3 .

Passo 4

Precisamos também encontrar a distância entre o centro e os focos, que é chamada de c . Olhando para os focos (0, -2) e (0, 2) , vemos que c = 2 .

Passo 5

Sabemos que para uma elipse, a relação entre a , b (o semi-eixo menor) e c é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que já temos:
2^2 = 3^2 - b^2 4 = 9 - b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5

Passo 6

Agora que temos a = 3 e b = raiz5 , podemos escrever a equação padrão da elipse. Como a elipse está vertical (eixos no eixo y), a equação fica:
y^2a^2 + x^2b^2 = 1
Substituindo a^2 = 9 e b^2 = 5 :
y^29 + x^25 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
y^29 + x^25 = 1

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