[1 ponto] Obtenha a equação da parábola de vértice V=(0,0) e foco F=(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a equação de uma parábola com vértice em V = (0, 0) e foco em F = (3, 4) . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a definição de parábola que envolve o vértice e o foco. Para resolver, vamos precisar usar a definição da parábola que diz que qualquer ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretora (linha reta que é a “fronteira” da parábola).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a definição de uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretoria. Sabemos o vértice V = (0, 0) e o foco F = (3, 4) . Nosso objetivo é encontrar a equação geral dessa parábola.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre o vértice e o foco para encontrar o valor de p , que representa a distância do vértice ao foco. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
p = raiz(xF - xV)^2 + (yF - yV)^2 = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, p = 5 .

Passo 4

Sabendo que p = 5 , a directrix da parábola está a uma distância p do vértice em direção oposta ao foco. Como o foco está no primeiro quadrante, a directrix estará na direção oposta. Vamos determinar a equação da directrix.

Passo 5

Para encontrar a equação da directrix, precisamos primeiro determinar a equação da reta que passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo da parábola. O eixo da parábola é a linha que liga o vértice ao foco, que no nosso caso é a reta que passa por (0,0) e (3,4) . A inclinação dessa reta é m = 43 .
A reta perpendicular terá inclinação negativa recíproca, ou seja, mperp = -34 .

Passo 6

Agora, usando a inclinação da directrix mperp = -34 e sabendo que a directrix está a p = 5 unidades do vértice na direção oposta ao foco, podemos usar a fórmula do ponto-direita para encontrar sua equação.
A equação da directrix será:
y = -34x - 5

Passo 7

Com a equação do foco F = (3, 4) e da directrix y = -34x - 5 , usamos a definição da parábola para igualar as distâncias:
raiz(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = distância de (x, y) à directrix y = -34x - 5 âà

Passo 8

Calculando a distância do ponto à directrix usamos a fórmula:
Igualando as duas distâncias:

Passo 9

Para simplificar, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = ( 45 )^2 ( -34x - y - 5 )^2
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 1625 ( 916x^2 + 244xy + y^2 + 30x + 40y + 25 )

Passo 10

Expandindo e simplificando os termos, chegamos à equação geral da parábola:
25(x - 3)^2 + 25(y - 4)^2 = 16 ( 916x^2 + 6xy + y^2 + 30x + 40y + 25 )
Simplificando ainda mais:
25x^2 - 150x + 225 + 25y^2 - 200y + 400 = 9x^2 + 96xy + 16y^2 + 480x + 640y + 400
Reorganizando os termos:
16x^2 - 96xy + 9y^2 - 630x - 840y + 225 = 0

Resposta

A equação da parábola é:
16x^2 - 96xy + 9y^2 - 630x - 840y + 225 = 0

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