[1 ponto] Obtenha a equação da parábola de vértice
e foco
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a equação de uma parábola com vértice em
e foco em
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a definição de parábola que envolve o vértice e o foco. Para resolver, vamos precisar usar a definição da parábola que diz que qualquer ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretora (linha reta que é a “fronteira” da parábola).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a definição de uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretoria. Sabemos o vértice
e o foco
. Nosso objetivo é encontrar a equação geral dessa parábola.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre o vértice e o foco para encontrar o valor de
, que representa a distância do vértice ao foco. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Então,
.
Passo 4
Sabendo que
, a directrix da parábola está a uma distância
do vértice em direção oposta ao foco. Como o foco está no primeiro quadrante, a directrix estará na direção oposta. Vamos determinar a equação da directrix.
Passo 5
Para encontrar a equação da directrix, precisamos primeiro determinar a equação da reta que passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo da parábola. O eixo da parábola é a linha que liga o vértice ao foco, que no nosso caso é a reta que passa por
e
. A inclinação dessa reta é
.
A reta perpendicular terá inclinação negativa recíproca, ou seja,
.
Passo 6
Agora, usando a inclinação da directrix
e sabendo que a directrix está a
unidades do vértice na direção oposta ao foco, podemos usar a fórmula do ponto-direita para encontrar sua equação.
A equação da directrix será:
Passo 7
Com a equação do foco
e da directrix
, usamos a definição da parábola para igualar as distâncias:
Passo 8
Calculando a distância do ponto
à directrix
usamos a fórmula:
Igualando as duas distâncias:
Passo 9
Para simplificar, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Expandindo e simplificando os termos, chegamos à equação geral da parábola:
Simplificando ainda mais:
Reorganizando os termos:
Resposta
A equação da parábola é: