Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
(b) Os autovalores de .
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
Queremos (a) o polinômio característico de , (b) seus autovalores e (c) os autovetores correspondentes. Para isso, vamos representar na base canônica , calcular e resolver .
As raízes de p(lambda) são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade 1).
Passo 5
Para resolvemos , isto é
Assim os autovetores são
isto é, em , .
Passo 6
Para resolvemos , isto é
O espaço próprio é gerado por , ou seja o polinômio .
Resposta
(a) p(lambda)=(lambda-1)^2(lambda+1)
(b) Autovalores: lambda=1 (mult. 2) e lambda=-1.
(c) Autovetores: para lambda=1, span,1+t,;t^2; para lambda=-1, span,1 - t.