Considere o operador linear T: P2 P2 definido por T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2. Determine:
(a) O polinômio característico de T.
(b) Os autovalores de T.
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon P2toP2 por
Tl(x + y,t + z,t^2r) = y + x,t + z,t^2
Queremos (a) o polinômio característico de T, (b) seus autovalores e (c) os autovetores correspondentes. Para isso, vamos representar T na base canônica 1,t,t^2, calcular det(A-lambda I) e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base 1,t,t^2 temos
T(1) = t, T(t)=1, T(t^2)=t^2,
logo a matriz de T é
A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=det(A - lambda I) =det -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda =(lambda^2-1),(1-lambda)
Fatorando em forma padrão:
p(lambda)=(lambda-1)^2(lambda+1)

Passo 4

As raízes de p(lambda) são
lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade 1).

Passo 5

Para resolvemos , isto é
Assim os autovetores são
isto é, em ,
.

Passo 6

Para resolvemos , isto é
O espaço próprio é gerado por
, ou seja o polinômio .

Resposta

(a) p(lambda)=(lambda-1)^2(lambda+1)
(b) Autovalores: lambda=1 (mult. 2) e lambda=-1.
(c) Autovetores: para lambda=1, span,1+t,;t^2; para lambda=-1, span,1 - t.

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