Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Determine:
(a) O polinômio característico de T.
(b) Os autovalores de T.
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. O problema nos dá um operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z) = (x + y, x - y + 2z, 2x + y - z)
Precisamos determinar:
(a) O polinômio característico de T .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T como uma matriz. Cada operador linear pode ser associado a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação descrita por T .
A matriz de T será uma matriz 3 times 3 , onde cada coluna representa a imagem dos vetores canônicos e1, e2, e3 .
Vamos encontrar a matriz A associada a T :
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33
Aplicando T aos vetores canônicos:
  • T(1, 0, 0) = (1 + 0, 1 - 0 + 0, 2 cdot 1 + 0 - 0) = (1, 1, 2)
  • T(0, 1, 0) = (0 + 1, 0 - 1 + 0, 0 + 1 - 0) = (1, -1, 1)
  • T(0, 0, 1) = (0 + 0, 0 - 0 + 2 cdot 1, 0 + 0 - 1) = (0, 2, -1)
Então, a matriz A fica:
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1

Passo 3

Agora que temos a matriz A , vamos encontrar o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz A é dado por:
p(lambda) = det (A - lambda I)
onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar.
Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda
Vamos expandir esse determinante. Podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos optar pela expansão pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot -1 - lambda & 2 1 & -1 - lambda - 1 cdot 1 & 2 2 & -1 - lambda + 0 cdot 1 & -1 - lambda 2 & 1
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(-1 - lambda)(-1 - lambda) - 2 cdot 1] - 1 [1 cdot (-1 - lambda) - 2 cdot 2] + 0

Passo 5

Vamos calcular cada determinante menor:
Primeiro termo:
(-1 - lambda)(-1 - lambda) - 2 cdot 1 = (1 + 2lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 + 2lambda -1
Segundo termo:
1 cdot (-1 - lambda) - 2 cdot 2 = -1 - lambda - 4 = -lambda -5
Substituindo na expressão original:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) -1 (-lambda -5)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) + lambda +5

Passo 6

Agora, vamos multiplicar (1 - lambda) pelo polinômio lambda^2 + 2lambda -1 :
(1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) = 1 cdot (lambda^2 + 2lambda -1) - lambda (lambda^2 + 2lambda -1) = lambda^2 + 2lambda -1 - lambda^3 - 2lambda^2 + lambda
Simplificando os termos:
-lambda^3 - lambda^2 + 3lambda -1
Agora, adicionamos lambda +5 :
-lambda^3 - lambda^2 + 3lambda -1 + lambda +5 = -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda +4

Passo 7

Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda +4
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
p(lambda) = lambda^3 + lambda^2 - 4lambda -4

Resposta

O polinômio característico de T é
p(lambda) = lambda^3 + lambda^2 - 4,lambda - 4

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