[1 Ponto]Calquile \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-\cos x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x-\cos x}{x^3}.
Aqui o conteúdo é limite de função para x\to\infty envolvendo um termo dominante (polinomial) e um termo oscilante (cosseno). Vamos usar as propriedades de soma de limites e o fato de que funções polinomiais crescem mais rápido que funções limitadas.

Passo 2

Separamos a fração em duas parcelas usando a linearidade do quociente:
\frac{x-\cos x}{x^3} =\frac{x}{x^3}-\frac{\cos x}{x^3} =\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{x^3}.

Passo 3

Analisamos cada termo:
  1. \displaystyle \frac{1}{x^2}. Como x\to\infty, o denominador cresce sem limite, logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0.
  1. \displaystyle \frac{\cos x}{x^3}. Sabemos que \lvert\cos x\rvert\le1, então
\left\lvert\frac{\cos x}{x^3}\right\rvert\le\frac{1}{x^3}
e como \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3}=0, pelo teorema do confronto
\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x^3}=0.

Passo 4

Somando os limites das duas parcelas, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x-\cos x}{x^3} =0-0=0.

Resposta

0

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