Determine:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}
ou seja, precisamos calcular
\int \bigl(x^{2} + 1 + \tfrac{1}{x^{2}+1}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e as fórmulas básicas
\displaystyle \int x^{n}dx e \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}dx.

Passo 2

Aplicando a linearidade, quebramos a integral em três partes:
\int \bigl(x^{2} + 1 + \tfrac{1}{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx \;+\; \int 1\,dx \;+\; \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Usamos a regra de potência para as duas primeiras integrais:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 1\,dx = x.

Passo 4

Para a terceira parte, lembramos que
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{x^{3}}{3} + x + \arctan(x) + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + x + \arctan(x) + C

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