Encontre \frac{d^{2}}{d x^{2}} \int_{0}^{x}\left(\int_{1}^{\operatorname{sen} t} \sqrt{1+u^{4}} d u\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 2 de uma função definida por duas integrais aninhadas. Vamos denotar
F(x) = \int_{0}^{x}\Bigl(\int_{1}^{\sin t}\sqrt{1+u^4}\,du\Bigr)\,dt.
Para resolver, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
F(x)=\int_{0}^{x}g(t)\,dt
é F'(x)=g(x). No nosso caso,
g(t)=\int_{1}^{\sin t}\sqrt{1+u^4}\,du,
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F'(x)=\int_{1}^{\sin x}\sqrt{1+u^4}\,du.

Passo 3

Para obter F''(x), diferenciamos
F'(x)=\int_{1}^{\sin x}\sqrt{1+u^4}\,du
usando a Regra de Leibniz: se h(x)=\int_{a}^{\varphi(x)}f(u)\,du, então
h'(x)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\,\varphi'(x).
Aqui \varphi(x)=\sin x e f(u)=\sqrt{1+u^4}. Portanto
F''(x)=\sqrt{1+(\sin x)^4}\,\cos x.

Resposta

\cos x\sqrt{1+\sin^4 x}

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