[1] (2,0 pontos)Calcule o vetor \vec{w}, tal que \vec{w} \cdot(1,0,2)=3 e \vec{w} \wedge(1,0,-1)=(-2,3,-2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor \vec{w}\in\mathbb{R}^3 que satisfaça duas condições: o produto escalar
\vec{w}\cdot(1,0,2)=3
e o produto vetorial
\vec{w}\wedge(1,0,-1)=(-2,3,-2).
Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em coordenadas e a fórmula do produto vetorial em componentes.

Passo 2

Seja \vec{w}=(x,y,z).
O produto escalar com (1,0,2) é
\vec{w}\cdot(1,0,2)=x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot2 = x + 2z,
e deve valer 3. Logo,
x + 2z = 3.

Passo 3

O produto vetorial \vec{w}\wedge(1,0,-1) em componentes é dado por
\vec{w}\wedge(1,0,-1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ x & y & z\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(-y,\;x+z,\;-y\bigr).
Devemos ter
(-y,\;x+z,\;-y)=(-2,3,-2).
Isso dá o sistema
-y = -2,\quad x+z = 3,\quad -y = -2.
Da primeira equação segue y=2. Da segunda,
x + z = 3.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de duas equações em x\) e \(z\): \[\begin{cases} x + 2z = 3,\\\ x + z = 3. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem z=0\]. Substituindo em \(x+z=3 obtemos x=3.

Resposta

\displaystyle \vec{w}=(3,2,0)

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