[3] (2,0 pontos)Achar a distância do ponto P=(-5,-4,8) ao plano determinado pelos pontos A= (2,3,1), B=(4,1,-2) e C=(6,3,7).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(-5,-4,8) ao plano que passa pelos pontos A=(2,3,1), B=(4,1,-2) e C=(6,3,7). Vamos usar geometria analítica: calcular um vetor normal ao plano por produto vetorial e aplicar a fórmula
\text{distância} = \frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}.â

Passo 2

Calculamos dois vetores no plano a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-2,\;1-3,\;-2-1) = (2,-2,-3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (6-2,\;3-3,\;7-1) = (4,0,6).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\mathbf{n} = (2,-2,-3)\times(4,0,6) = (-12,\,-24,\;8).
A magnitude de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = 28.

Passo 4

Calculamos o vetor \overrightarrow{AP} = P - A = (-5-2,\,-4-3,\;8-1) = (-7,-7,7). Em seguida, o produto escalar com \mathbf{n}:
\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n} = (-7)(-12) + (-7)(-24) + (7)(8) = 84 + 168 + 56 = 308.
Logo, a distância é
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{308}{28} = 11.

Resposta

A distância do ponto ao plano é 11.

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