[1] (2,0 pontos) Inverta a ordem da integral
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável
varia de a . - Para cada
fixo em , a variável varia de até . - O objetivo é escrever a mesma integral trocando a ordem de integração (primeiro
, depois ).
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A descrição atual dá a região
As curvas que limitam a região são:
- a reta
(eixo ), - a parábola
(ou equivalentemente ).
Pontos importantes (obtidos da descrição original): quandotem-se ; quando tem-se . Como está entre e , estamos tomando apenas a parte da parábola com .
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos a região no eixo
e escrevemos os limites de
em função de
.
- Qual é o intervalo de
possível na região? Como para o máximo de é e o mínimo sempre é , obtemos
- Para um
fixo com , quais os valores de que pertencem à região? A condição é equivalente a
Como originalmente
está entre
e
(ou seja,
), passamos a ter
Portanto, para cada
o
varia de
até
.
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem trocada (primeiro integrar em
, depois em
), substituímos os limites obtidos:
Passo 5
Comentário didático rápido (como usar isso na prova): o procedimento geral para inverter a ordem é
- desenhar ou pensar nas desigualdades que definem a região (aqui
e ), - projetar essa região no eixo que ficará por fora (aqui o eixo
), encontrando o intervalo para essa variável (aqui ), - para um valor fixo da variável externa, isolar a outra variável obtendo seus limites em função da primeira (aqui
).
Um truque prático: sempre resolva a desigualdade que ligae para obter a expressão tipo ou e não esqueça de checar sinais (por exemplo o fato de foi usado para escolher a raiz positiva).
Passo 6
Só para verificar rapidamente (opcional): integrando primeiro em
com os novos limites dá
o que mostra que a troca foi correta e ainda simplifica bastante a resolução se fosse necessário calcular o valor numérico.