[1] (2,0 pontos) Inverta a ordem da integral
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}} \frac{x e^{2 y}}{4-y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}\frac{x e^{2y}}{4-y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável x varia de 0 a 2.
  • Para cada x fixo em [0,2], a variável y varia de 0 até 4-x^{2}.
  • O objetivo é escrever a mesma integral trocando a ordem de integração (primeiro x, depois y).

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano xy. A descrição atual dá a região
\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 4-x^{2}\}.
As curvas que limitam a região são:
  • a reta \;y=0\; (eixo x),
  • a parábola \;y=4-x^{2}\; (ou equivalentemente x^{2}+y=4).
    Pontos importantes (obtidos da descrição original): quando x=0 tem-se y=4; quando x=2 tem-se y=0. Como x está entre 0 e 2, estamos tomando apenas a parte da parábola com x\ge 0.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos a região no eixo y e escrevemos os limites de x em função de y.
  • Qual é o intervalo de y possível na região? Como para x=0 o máximo de y é 4 e o mínimo sempre é 0, obtemos
0\le y\le 4.
  • Para um y fixo com 0\le y\le 4, quais os valores de x que pertencem à região? A condição \;y\le 4-x^{2}\; é equivalente a
x^{2}\le 4-y.
Como originalmente x está entre 0 e 2 (ou seja, x\ge 0), passamos a ter
0\le x\le \sqrt{4-y}.
Portanto, para cada y\in[0,4] o x varia de 0 até \sqrt{4-y}.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem trocada (primeiro integrar em x, depois em y), substituímos os limites obtidos:
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-y}}\frac{x e^{2y}}{4-y}\,dx\,dy.

Passo 5

Comentário didático rápido (como usar isso na prova): o procedimento geral para inverter a ordem é
  1. desenhar ou pensar nas desigualdades que definem a região (aqui 0\le x\le2 e 0\le y\le 4-x^{2}),
  2. projetar essa região no eixo que ficará por fora (aqui o eixo y), encontrando o intervalo para essa variável (aqui [0,4]),
  3. para um valor fixo da variável externa, isolar a outra variável obtendo seus limites em função da primeira (aqui 0\le x\le\sqrt{4-y}).
    Um truque prático: sempre resolva a desigualdade que liga x e y para obter a expressão tipo x=\dots ou y=\dots e não esqueça de checar sinais (por exemplo o fato de x\ge0 foi usado para escolher a raiz positiva).

Passo 6

Só para verificar rapidamente (opcional): integrando primeiro em x com os novos limites dá
\int_{0}^{4}\left(\frac{e^{2y}}{4-y}\int_{0}^{\sqrt{4-y}} x\,dx\right)dy = \int_{0}^{4}\left(\frac{e^{2y}}{4-y}\cdot\frac{(\sqrt{4-y})^{2}}{2}\right)dy = \int_{0}^{4}\frac{e^{2y}}{2}\,dy,
o que mostra que a troca foi correta e ainda simplifica bastante a resolução se fosse necessário calcular o valor numérico.

Resposta

\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-y}}\frac{x e^{2y}}{4-y}\,dx\,dy

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