[1] (2,0 pontos)Por meio de uma rotação de \frac{\pi}{4} no sentido anti-horário, transforme a equação x^{2}-y^{2}= 4.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar uma rotação de \theta = \tfrac{\pi}{4} no sentido anti-horário nos eixos xOy e reescrever a curva dada pela equação
x^{2}-y^{2}=4
em novas coordenadas (x',y'). Vamos usar a fórmula de mudança de variáveis para rotação de eixos.

Passo 2

Para uma rotação de eixos de ângulo \theta no sentido anti-horário, as relações entre as coordenadas antigas (x,y) e as novas (x',y') são:
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.
Aqui, \theta = \tfrac{\pi}{4}, logo \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Substituindo esses valores em x e y, temos
x = \frac{\sqrt{2}}{2}\,x' - \frac{\sqrt{2}}{2}\,y',
y = \frac{\sqrt{2}}{2}\,x' + \frac{\sqrt{2}}{2}\,y'.
Para simplificar x^{2}-y^{2}, note que
x+y = \sqrt{2}\,x',
x-y = -\sqrt{2}\,y'.

Passo 4

Daí
x^{2}-y^{2} = (x+y)\,(x-y) = (\sqrt{2}\,x')\;(-\sqrt{2}\,y') = -2\,x'y'.
Como a equação original é x^{2}-y^{2}=4, obtemos
-2\,x'y'=4 \quad\Longrightarrow\quad x'y'=-2.

Resposta

x'y'=-2

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