[3] (2,0 pontos)Esboce o gráfico da cônica de equação 2 x^{2}+x y-y^{2}+7 x+y+6=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica
2x^{2}+xy -y^{2}+7x+y+6=0.
O conteúdo aqui é a classificação de cônicas gerais e reconhecimento de caso degenerado. Vamos: (i) classificar via discriminante, (ii) achar o centro, (iii) eliminar termos lineares por translação, (iv) identificar fatores.

Passo 2

Na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 temos
A=2,\quad B=1,\quad C=-1.
O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC=1^{2}-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9>0,
logo é uma hipérbole (possivelmente degenerada).

Passo 3

O centro (x_{0},y_{0}) satisfaz
\frac{\partial}{\partial x}:2Ax+By+D=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}:Bx+2Cy+E=0.
Isto é
4x+y+7=0, \qquad x-2y+1=0.
Da segunda x=2y-1. Substituindo na primeira
4(2y-1)+y+7=0\;\Longrightarrow\;8y-4+y+7=0\;\Longrightarrow\;9y+3=0 \;\Longrightarrow\;y=-\tfrac13,
x=2\Bigl(-\tfrac13\Bigr)-1=-\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Fazemos a translação
X = x + \tfrac{5}{3}, \qquad Y = y + \tfrac{1}{3}.
Substituindo na cônica e simplificando, a parte quadrática vira
2X^{2}+X\,Y - Y^{2}=0
e todos os termos lineares e constantes desaparecem.

Passo 5

A equação homogênea fatoriza:
2X^{2}+X\,Y - Y^{2}=(2X - Y)(X + Y)=0.
Isto mostra que a “hipérbole” é, na verdade, a união de duas retas em (X,Y).

Passo 6

Voltando a (x,y), as retas são
2\,(x+\tfrac{5}{3}) - (y+\tfrac{1}{3})=0 \quad\Longrightarrow\quad y=2x+3,
(x+\tfrac{5}{3}) + (y+\tfrac{1}{3})=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x-2.

Resposta

As duas retas
y=2x+3 \quad\text{e}\quad y=-x-2
formam o gráfico da cônica dada.

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