[3] (2,0 pontos)Esboce o gráfico da cônica de equação
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da cônica
O conteúdo aqui é a classificação de cônicas gerais e reconhecimento de caso degenerado. Vamos: (i) classificar via discriminante, (ii) achar o centro, (iii) eliminar termos lineares por translação, (iv) identificar fatores.
Passo 2
Na forma geral
temos
O discriminante é
logo é uma hipérbole (possivelmente degenerada).
Passo 3
O centro
satisfaz
Isto é
Da segunda
. Substituindo na primeira
Passo 4
Fazemos a translação
Substituindo na cônica e simplificando, a parte quadrática vira
e todos os termos lineares e constantes desaparecem.
Passo 5
A equação homogênea fatoriza:
Isto mostra que a “hipérbole” é, na verdade, a união de duas retas em
.
Passo 6
Voltando a
, as retas são
Resposta
As duas retas
formam o gráfico da cônica dada.