[1] (2,0 pontos) Seja P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t
Calcule \left\|t^{2}+t+1\right\| e \|2 t+3\|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as normas dos polinômios t^{2}+t+1 e 2t+3 em P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt.
A norma associada é
\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{1}[f(t)]^{2}\,dt}.
Logo, basta integrar o quadrado de cada polinômio em [0,1] e extrair a raiz quadrada.

Passo 2

Para \|t^{2}+t+1\| fazemos
(t^{2}+t+1)^{2}=t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+2t+1,
então
\int_{0}^{1}(t^{2}+t+1)^{2}\,dt =\int_{0}^{1}t^{4}\,dt +\int_{0}^{1}2t^{3}\,dt +\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt +\int_{0}^{1}2t\,dt +\int_{0}^{1}1\,dt.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}t^{4}\,dt=\frac{1}{5},\quad \int_{0}^{1}2t^{3}\,dt=\frac{1}{2},\quad \int_{0}^{1}3t^{2}\,dt=1,\quad \int_{0}^{1}2t\,dt=1,\quad \int_{0}^{1}1\,dt=1.
Somando,
\langle t^{2}+t+1,\,t^{2}+t+1\rangle =\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+1+1+1 =\frac{37}{10},
portanto
\|t^{2}+t+1\|=\sqrt{\frac{37}{10}}.

Passo 3

Para \|2t+3\| temos
(2t+3)^{2}=4t^{2}+12t+9,
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\int_{0}^{1}(2t+3)^{2}\,dt =\int_{0}^{1}4t^{2}\,dt +\int_{0}^{1}12t\,dt +\int_{0}^{1}9\,dt.
Calculando:
\int_{0}^{1}4t^{2}\,dt=\frac{4}{3},\quad \int_{0}^{1}12t\,dt=6,\quad \int_{0}^{1}9\,dt=9.
Somando,
\langle 2t+3,2t+3\rangle =\frac{4}{3}+6+9 =\frac{49}{3},
e portanto
\|2t+3\|=\sqrt{\frac{49}{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}.

Resposta

\|t^{2}+t+1\|=\sqrt{\tfrac{37}{10}} \|2t+3\|=\tfrac{7}{\sqrt{3}}

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