Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) (1,0 ponto) determine os autovalores e autovetores associados;
(b) ( 1,0 ponto) as duas matrizes são diagonalizáveis? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[0.3em] 3 & 3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}5 & -1 \\[0.3em] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede em (a) os autovalores e autovetores de cada uma, e em (b) se elas são diagonalizáveis. Para isso, vamos usar o polinômio característico \det(M - \lambda I)=0
para encontrar cada \lambda e depois resolver (M - \lambda I)x=0 para achar os autovetores. Por fim, compararemos a multiplicidade algébrica de cada \lambda com a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para decidir a diagonalizabilidade.]
A tem dois autovalores distintos 6 e 1, cada um com um autovetor linearmente independente, totalizando 2 vetores em \Bbb R^2. Logo, A é diagonalizável.
B tem autovalor único \lambda=4 de multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio é de dimensão 1 (só um autovetor independente). Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, B não é diagonalizável.
Resposta
(a) Para A: \lambda_1=6 com v_1=(1,1)^T, \lambda_2=1 com v_2=(2,-3)^T.
Para B: \lambda=4 (dupla) com espaço próprio gerado por w=(1,1)^T.
(b) A é diagonalizável (dois autovalores distintos e dois autovetores independentes). B não é diagonalizável (autovalor duplo, mas apenas um autovetor).