[3] Sejam as matrizes
\begin{aligned} A & =\left(\begin{array}{ll} 4 & 2 \\\\ 3 & 3 \end{array}\right) \\\ B & =\left(\begin{array}{cc} 5 & -1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right) \end{aligned}
Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) (1,0 ponto) determine os autovalores e autovetores associados;
(b) ( 1,0 ponto) as duas matrizes são diagonalizáveis? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[0.3em] 3 & 3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}5 & -1 \\[0.3em] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede em (a) os autovalores e autovetores de cada uma, e em (b) se elas são diagonalizáveis. Para isso, vamos usar o polinômio característico \det(M - \lambda I)=0
para encontrar cada \lambda e depois resolver (M - \lambda I)x=0 para achar os autovetores. Por fim, compararemos a multiplicidade algébrica de cada \lambda com a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para decidir a diagonalizabilidade.]

Passo 2

Calcular espectro de A.
\det(A - \lambda I) =\begin{vmatrix}4-\lambda & 2\\[0.3em]3 & 3-\lambda\end{vmatrix} =(4-\lambda)(3-\lambda)-2\cdot3 =\lambda^2-7\lambda+6.
As raízes são
\lambda^2-7\lambda+6=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\{6,1\}.
Para \lambda=6,
A-6I=\begin{pmatrix}-2&2\\[0.3em]3&-3\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -2x+2y=0\;\Rightarrow\;y=x,
logo o espaço próprio é gerado por
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=1,
A-1I=\begin{pmatrix}3&2\\[0.3em]3&2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 3x+2y=0\;\Rightarrow\;y=-\tfrac32x,
logo o autovetor pode ser tomado como
v_2=\begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular espectro de B.
\det(B-\lambda I) =\begin{vmatrix}5-\lambda&-1\\[0.3em]1&3-\lambda\end{vmatrix} =(5-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot1 =\lambda^2-8\lambda+16.
Isso dá
\lambda^2-8\lambda+16=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=4\text{ (raiz dupla).}
Para \lambda=4,
B-4I=\begin{pmatrix}1&-1\\[0.3em]1&-1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x-y=0\;\Rightarrow\;y=x,
então o espaço próprio é gerado por
w=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}
e tem dimensão 1, embora a raiz seja dupla.]

Passo 4

Decidir diagonalizabilidade.
  • A tem dois autovalores distintos 6 e 1, cada um com um autovetor linearmente independente, totalizando 2 vetores em \Bbb R^2. Logo, A é diagonalizável.
  • B tem autovalor único \lambda=4 de multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio é de dimensão 1 (só um autovetor independente). Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, B não é diagonalizável.

Resposta

(a) Para A: \lambda_1=6 com v_1=(1,1)^T, \lambda_2=1 com v_2=(2,-3)^T.
Para B: \lambda=4 (dupla) com espaço próprio gerado por w=(1,1)^T.
(b) A é diagonalizável (dois autovalores distintos e dois autovetores independentes). B não é diagonalizável (autovalor duplo, mas apenas um autovetor).

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